마플시너지공수1답지 1125번 일등급 좌변 전개·인수분해 핵심 포인트

1125번은 7단원 고차방정식 일등급문제(2018년 3월 고2 학평 가형 14번)로, (1+x)(1+x²)(1+x⁴)=x⁷+x⁶+x⁵+x⁴를 정리하여 삼차방정식의 세 근을 구한 뒤 α⁴+β⁴+γ⁴를 계산하는 문제입니다.

① 좌변 전개하여 정리 — (1+x)(1+x²)(1+x⁴)를 전개하면 1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷. 우변은 x⁷+x⁶+x⁵+x⁴. 공통 부분을 삭제하면 1+x+x²+x³=0.

② 삼차방정식 인수분해 — 1+x+x²+x³=0에서 (1+x)+x²(1+x)=0 → (1+x)(1+x²)=0. x=−1 또는 x²=−1 → x=−1, x=i, x=−i.

③ α⁴+β⁴+γ⁴ 계산 — 세 근이 −1, i, −i이므로 (−1)⁴+i⁴+(−i)⁴=1+1+1=3.

정답: ① 3.