226 무리함수 y=√ax+b+c 그래프 🌀: 표준형 변신의 마법!
⭐ 핵심만정리
무리함수 y = √ax+b + c (단, a ≠ 0) 그래프, 어렵게 생각하지 마세요! 이 친구도 변신시켜서 그리면 된답니다! 🧚
- 변신의 목표: 주어진 식을 우리가 잘 아는 y = √a(x-p) + q 꼴 (표준형)으로 바꿔요!
- 변신 방법: 루트 안의 ax+b를 x의 계수인 a로 묶어내면 돼요!
ax+b = a(x + b/a).
따라서 y = √a(x – (-b/a)) + c 형태로 변신! (여기서 p = -b/a, q = c가 되겠죠?) - 변신 후에는? 이전 시간에 배운 y = √a(x-p) + q 그래프 그리는 방법을 그대로 적용하면 끝!
- 시작점: (p, q) 즉, (-b/a, c)
- a의 부호와 루트 앞의 부호에 따라 그래프 방향 결정!
결국, 이 형태의 무리함수도 기본형 y = √ax 그래프를 x축 방향으로 -b/a만큼, y축 방향으로 c만큼 평행이동한 것이랍니다! 🚶➡️🚶⬆️
📚 개념정리
안녕, 그래프 변신술사 친구들! ✨ 오늘은 무리함수의 또 다른 형태, y = √ax+b + c (단, a ≠ 0) 그래프를 어떻게 그리는지 알아볼 거예요. 언뜻 보면 복잡해 보이지만, 이 식도 우리가 잘 아는 표준형 y = √a(x-p) + q 형태로 살짝만 바꿔주면 아주 쉽게 그릴 수 있답니다! 그 변신의 마법을 함께 배워볼까요? 😉
함수 y = √ax+b + c의 그래프는 루트 안의 식 ax+b를 x의 계수인 a로 묶어내어 표준형으로 변형한 후 그려요.
즉, ax+b = a(x + b/a) 이므로, 주어진 함수는 다음과 같이 변형할 수 있어요:
y = √a(x + b/a) + c
이 식을 우리가 익숙한 y = √a(x-p) + q 꼴과 비교해보면, p = -b/a 이고 q = c 라는 것을 알 수 있죠!
결국, 함수 y = √ax+b + c의 그래프는 기본형 y = √ax의 그래프를
- x축 방향으로 -b/a 만큼 평행이동하고,
- y축 방향으로 c 만큼 평행이동한 것이랍니다!
이렇게 표준형으로 변신시키고 나면, 시작점과 그래프의 방향을 쉽게 파악해서 그래프를 그릴 수 있어요.
✨ 예시: y = √(-2x+6) + 1 그래프 그리기
(원본 예시: y = √(4-2x)+3 )1단계: 루트 안의 식을 x의 계수로 묶기
루트 안의 -2x+6에서 x의 계수인 -2로 묶어내요.
-2x+6 = -2(x – 3)
따라서 주어진 함수는 y = √-2(x – 3) + 1 로 변신!
2단계: 표준형과 비교하여 p, q, a 값 찾기
y = √a(x-p) + q 꼴과 비교하면,
- a = -2
- p = 3
- q = 1
3단계: 그래프 그리기
이 함수는 기본형 y = √(-2x)의 그래프를 x축 방향으로 3만큼, y축 방향으로 1만큼 평행이동한 것이에요.
- 시작점(꼭짓점): (p, q) = (3, 1)
- a의 부호: a = -2 < 0이므로 그래프는 시작점에서 왼쪽으로 뻗어 나갑니다.
- 루트 앞 부호: 루트 앞이 +이므로 그래프는 위쪽으로 향합니다.
따라서 그래프는 시작점 (3,1)에서 왼쪽 위로 뻗어 나가는 곡선 모양이 됩니다.
y = √(-2x) (회색, 기본형)
y = √(-2x+6)+1 (색깔)
시작점 (3,1), 왼쪽 위로
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 다음 함수의 그래프를 그리고, 정의역과 치역을 구하시오.
(1) y = √(3x + 6) + 2
(2) y = √(4 – x) – 1
(원본 문제: (1) y = √(2x+3)+1 (2) y = √(2-x)-1 )💡 풀이:
(1) y = √(3x + 6) + 2
루트 안의 3x + 6을 x의 계수인 3으로 묶으면 3(x + 2)가 돼요.
따라서 y = √3(x – (-2)) + 2. 여기서 a=3, p=-2, q=2 입니다.
- 시작점: (-2, 2)
- a = 3 > 0, 루트 앞 부호 +이므로 그래프는 시작점에서 오른쪽 위로 향합니다.
- 정의역: 3(x+2) ≥ 0 ➡️ x+2 ≥ 0 ➡️ x ≥ -2
- 치역: √3(x+2) ≥ 0 ➡️ √3(x+2) + 2 ≥ 2 ➡️ y ≥ 2
시작점 (-2,2), 오른쪽 위로
(2) y = √(4 – x) – 1
루트 안의 4 – x를 x의 계수인 -1로 묶으면 -(x – 4)가 돼요.
따라서 y = √-(x – 4) – 1. 여기서 a=-1, p=4, q=-1 입니다.
- 시작점: (4, -1)
- a = -1 < 0, 루트 앞 부호 +이므로 그래프는 시작점에서 왼쪽 위로 향합니다.
- 정의역: -(x-4) ≥ 0 ➡️ x-4 ≤ 0 ➡️ x ≤ 4
- 치역: √-(x-4) ≥ 0 ➡️ √-(x-4) – 1 ≥ -1 ➡️ y ≥ -1
시작점 (4,-1), 왼쪽 위로
연산 PDF 링크 삽입 위치
💡 참고
무리함수 y = √ax+b + c 형태를 표준형 y = √a(x-p) + q로 바꾸는 것이 조금 헷갈릴 수 있어요. 핵심은 루트 안의 x의 계수 a로 묶어내는 것이랍니다! 🧐
예를 들어 y = √2x+5 – 3 이라면,
루트 안의 2x+5에서 x의 계수인 2로 묶으면 2(x + 5/2)가 되죠?
그래서 y = √2(x – (-5/2)) – 3 으로 변형할 수 있어요. 그러면 a=2, p=-5/2, q=-3 이라는 것을 쉽게 알 수 있죠!
이렇게 표준형으로 바꾸면 기본형 그래프를 어떻게 평행이동했는지 한눈에 보이기 때문에 그래프를 그리거나 성질을 파악하는 데 아주 편리해요. 연습을 통해 익숙해지면 어떤 무리함수도 자신 있게 다룰 수 있을 거예요! 💪