마플시너지공수1답지 850번 아폴로니우스 원 핵심 포인트

850번은 두 정점 A, B까지의 거리의 비 PA:PB = m:n (m≠n)을 만족하는 점 P의 자취가 원이 됨을 보이는 TOUGH 문제입니다. 이 원을 아폴로니우스 원이라 하며, 교과 범위 안에서 자주 출제되는 자취 유형입니다.

유도 과정은 정형화되어 있습니다. PA:PB = m:n을 nPA = mPB로 놓고 양변을 제곱하면 n²PA² = m²PB²입니다. PA² = (x−a₁)²+(y−b₁)², PB² = (x−a₂)²+(y−b₂)²를 대입한 뒤 전개하면 x²+y²의 계수가 같은 이차식이 나오고, 이를 정리하면 원의 방정식이 됩니다.

주의할 점은 m=n일 때(비가 1:1)는 원이 아니라 수직이등분선(직선)이 된다는 것입니다. 문제에서 m≠n 조건을 확인하세요. m=n이면 x², y² 항이 소거되어 일차식만 남습니다.