마플시너지공수1답지 849번 자취 방정식 유도 핵심 포인트

849번은 어떤 조건을 만족하며 움직이는 점 P(x, y)의 자취가 원이 됨을 보이고 그 방정식을 구하는 TOUGH 문제입니다. 자취 문제는 “조건 → 등식 → 정리”의 세 단계로 풀립니다.

① 조건을 식으로 변환: “두 점까지 거리의 비가 일정”이면 PA : PB = m : n → nPA = mPB로, “거리의 합이 일정”이면 PA + PB = k로 세웁니다. ② 거리 공식 대입: PA = √((x−a)²+(y−b)²) 등으로 대입하고 양변을 제곱합니다.

③ 정리: 전개 후 x², y²의 계수가 같고 xy 항이 없으면 원입니다. 표준형 (x−p)²+(y−q)²=r²로 변환하면 중심과 반지름이 확정됩니다. 특히 아폴로니우스 원(거리비 일정)은 자주 출제되므로 결과 형태를 기억해두면 유리합니다.