마플시너지공수1답지 830번 삼각형 넓이 최댓값 핵심 포인트

830번은 원과 직선이 만드는 삼각형의 넓이가 최대가 되는 조건을 찾는 TOUGH 문제입니다. 넓이 = ½ × 밑변 × 높이에서 밑변이 고정되면 높이가 최대일 때, 높이가 고정되면 밑변이 최대일 때 넓이가 최대가 됩니다.

이 유형에서 가장 흔한 구조는 두 교점(밑변)이 고정되고, 세 번째 꼭짓점이 원 위를 움직이는 경우입니다. 이때 높이는 그 꼭짓점에서 밑변 직선까지의 거리이며, 이 거리의 최댓값은 d + r (d = 중심~직선 거리, r = 반지름)입니다. 꼭짓점이 중심에서 직선 반대쪽 끝에 올 때 최대가 됩니다.

반대로 밑변이 변하는 경우에는 현의 길이 2√(r²−d²)와 높이를 동시에 변수로 두고 넓이를 하나의 변수로 통일한 뒤 미분 없이 산술·기하 평균이나 완전제곱식으로 최대를 잡습니다.