⭐ 핵심만정리

무리수를 포함한 식이 서로 같다고? 그 비밀은 바로 여기에! (단, a,b,c,d는 유리수이고 √m, √n은 무리수일 때 적용돼요!)

• a + b√m = 0 이라면 ⇔ a = 0 이고 b = 0 이어야 해요.
• a + b√m = c + d√m 이라면 ⇔ a = c 이고 b = d 이어야 해요 (유리수 부분은 유리수 부분끼리, 무리수 부분은 무리수 부분끼리 같아요!).
• a + √m = b + √n 이고 √m과 √n이 서로 다른 무리수라면 ⇔ a = b 이고 m = n 이어야 해요. (단, √m과 √n이 같은 종류의 무리수일 때 더 정확히는, 예를 들어 a\sqrt{2} + b\sqrt{3} = c\sqrt{2} + d\sqrt{3} 이면 a=c, b=d 가 성립해요 )

이 조건들을 이용하면 미지수를 포함한 무리수 식의 값을 구할 수 있답니다! 🔑

📚 개념정리

안녕, 수학 탐험가 친구들! 🧐 오늘은 유리수와 무리수가 섞여 있는 식이 서로 같아지려면 어떤 조건이 필요한지 알아볼 거예요. 마치 서로 다른 성격을 가진 친구들이 어떻게 하면 똑같아질 수 있는지 그 비밀을 파헤치는 것과 같답니다! 😉

유리수 전체의 집합과 무리수 전체의 집합은 서로 겹치는 부분이 없는, 즉 서로소 관계예요. 이 말은 곧, 유리수는 유리수끼리, 무리수는 무리수끼리만 같아질 수 있다는 뜻이죠. 이 기본적인 생각을 바탕으로 무리수가 서로 같을 조건을 살펴볼게요.

여기서 중요한 약속! 앞으로 나오는 a, b, c, d는 모두 유리수이고, √m이나 √n은 무리수라고 가정할게요.

1. a + b√m = 0 이 될 조건

만약 a + b√m = 0 이라는 식이 성립하려면, 어떤 조건이 필요할까요?

결론부터 말하면, a = 0 이고 동시에 b = 0 이어야만 해요!

왜 그럴까요? 만약 b가 0이 아니라고 가정해 봅시다. 그러면 식을 b√m = -a 로 바꿀 수 있고, 양변을 b로 나누면 √m = -a/b 가 돼요. 그런데 a와 b가 유리수이므로 -a/b도 유리수죠. 하지만 √m은 무리수라고 했으니, 무리수와 유리수가 같다는 이상한 결론이 나와요! 이것은 모순이죠. 🤯 따라서 처음 가정이 틀렸다는 것이고, b는 반드시 0이어야 해요. b=0이면 원래 식 a + b√m = 0은 a + 0 = 0이 되므로, a도 0이 되어야 한답니다.

2. a + b√m = c + d√m 이 될 조건

이번에는 두 무리수 식이 서로 같을 조건이에요: a + b√m = c + d√m

이 식이 성립하려면, 유리수 부분은 유리수 부분끼리 같고, 무리수 부분의 계수는 무리수 부분의 계수끼리 같아야 해요. 즉, a = c 이고 b = d 여야 한답니다!

이것도 간단히 증명할 수 있어요. 주어진 식을 한쪽으로 넘겨서 정리하면 (a – c) + (b – d)√m = 0 이 되죠. 여기서 (a-c)와 (b-d)는 모두 유리수예요. 그럼 바로 위에서 배운 1번 조건에 딱 들어맞죠? 따라서 a – c = 0 이고 b – d = 0 이어야 하므로, a = c 이고 b = d가 된답니다!

3. a + √m = b + √n (그리고 다른 형태들)

만약 a + √m = b + √n 이고, 여기서 √m과 √n이 (서로 더하거나 빼서 간단히 할 수 없는) 서로 다른 무리수라면, 이 식이 성립하기 위해서는 a = b 이고 m = n 이어야 해요.

좀 더 일반적으로, 서로 다른 종류의 무리수 (예: √2와 √3)가 섞여 있는 경우에도 각 무리수 앞의 유리수 계수들이 서로 같아야 등식이 성립해요. 예를 들어,

a√2 + b√3 = c√2 + d√3 이라면, a = c 이고 b = d 여야 한답니다.

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✅ 개념확인

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💡 참고