219 무리식이 뭐길래? 🤔 루트 속 문자의 조건!
⭐ 핵심만정리
루트(√) 안에 문자가 쏙! 이런 식을 ‘무리식’이라고 불러요. 무리식을 다룰 때 가장 중요한 약속은 바로 이것! 🤝
- 무리식이란? 근호(루트) 안에 문자가 포함되어 있는 식 중에서 유리식으로 나타낼 수 없는 식을 말해요. (예: √x, √(1-x))
- 무리식의 값이 실수가 될 조건:
- (근호 안의 식의 값) ≥ 0 : 루트 안은 항상 0보다 크거나 같아야 해요! (음수의 제곱근은 실수가 아니니까요!)
- (분모) ≠ 0 : 만약 무리식이 분수 형태라면, 분모는 절대로 0이 되면 안 돼요!
- 주의! √x2처럼 루트 안이 완전제곱식이어서 루트가 사라지고 |x|처럼 되는 식은 무리식으로 보지 않아요.
무리식을 계산할 때는 이 조건들을 꼭! 먼저 생각해야 한답니다. 😉
📚 개념정리
안녕, 식의 세계를 탐험하는 친구들! 🧐 우리가 다항식, 유리식에 대해 배웠었죠? 오늘은 그 친구들과는 조금 다른 매력을 가진 ‘무리식’에 대해 알아볼 거예요. 이름에서 느껴지듯 루트(√)와 아주 친한 사이랍니다! 함께 무리식의 정체를 밝혀봅시다!
무리식이란 무엇일까요? 🤔
무리식은 근호, 즉 루트 기호(√) 안에 문자가 포함되어 있는 식 중에서, 유리식(다항식 또는 분수식)으로 나타낼 수 없는 식을 말해요. 예를 들어 √x, √(2x – 5), 1/√(x+1) 같은 식들이 바로 무리식이랍니다.
우리가 다루는 모든 식은 크게 유리식과 무리식으로 나눌 수 있어요. 마치 수는 유리수와 무리수로 나뉘는 것처럼요!
식 = 유리식 (다항식, 분수식) + 무리식
무리식의 값이 실수가 되기 위한 약속! 📜
무리식을 다룰 때 아주 중요한 약속이 있어요. 바로 무리식의 값이 항상 실수가 되는 경우만 생각한다는 거예요. 그렇다면 무리식의 값이 실수가 되려면 어떤 조건들이 필요할까요?
- 근호(루트) 안의 식의 값은 항상 0 이상이어야 해요.
왜냐하면 실수 범위에서는 음수의 제곱근이 존재하지 않기 때문이죠! 루트 안에 음수가 들어가면 그 값은 허수가 되어버려요. 그래서 루트 안의 식은 항상 0보다 크거나 같아야 (≥ 0) 한답니다. - 분모는 0이 아니어야 해요.
만약 무리식이 분수 형태로 되어 있다면, 모든 분수식에서처럼 분모는 절대로 0이 될 수 없어요. 수학에서 0으로 나누는 것은 금지되어 있으니까요! 🚫
그래서 무리식의 계산에서는 이 두 가지 조건을 만족하는 문자의 값의 범위 내에서만 생각한답니다.
✨ 예시로 조건 확인하기!
1. √(x – 4)의 값이 실수가 되려면?
근호 안의 식 x – 4가 0보다 크거나 같아야 해요.
x – 4 ≥ 0 ➡️ x ≥ 4
따라서 x는 4 이상인 범위에서만 생각합니다.
2. 2 / √(x + 3)의 값이 실수가 되려면?
우선 근호 안의 식 x + 3이 0보다 크거나 같아야 하고 (x + 3 ≥ 0), 동시에 분모인 √(x + 3)이 0이 아니어야 해요.
√(x + 3) ≠ 0 이라는 것은 x + 3 ≠ 0 이라는 뜻이죠.
이 두 조건을 합치면, x + 3 > 0 이 되어야 해요.
따라서 x > -3인 범위에서만 생각합니다.
무리식의 계산은 근호 안의 식의 값이 양수 또는 0인 경우와 분모가 0이 아닌 경우만 생각하기 때문에, 기본적으로 우리가 배운 제곱근의 계산 법칙들을 그대로 이용할 수 있어요.
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 다음 무리식의 값이 실수가 되도록 하는 실수 x의 값의 범위를 구하시오.
(1) √(x + 2) + √(5 – x)
(2) √(6 – x) / √(x + 1)
(원본 문제: (1) √(x+1) + √(3-x) (2) √(5-x) / √(2+x) )💡 풀이:
(1) √(x + 2) + √(5 – x)
두 개의 루트가 모두 실수가 되어야 해요. 따라서 각 루트 안의 식이 0보다 크거나 같아야 합니다.
- 첫 번째 루트: x + 2 ≥ 0 ➡️ x ≥ -2
- 두 번째 루트: 5 – x ≥ 0 ➡️ 5 ≥ x ➡️ x ≤ 5
이 두 조건을 동시에 만족해야 하므로, 공통 범위를 찾으면 -2 ≤ x ≤ 5 입니다.
(2) √(6 – x) / √(x + 1)
이 경우에도 각 루트 안의 식이 0보다 크거나 같아야 하고, 추가적으로 분모는 0이 되면 안 돼요.
- 분자의 루트: 6 – x ≥ 0 ➡️ 6 ≥ x ➡️ x ≤ 6
- 분모의 루트 안: x + 1 ≥ 0 ➡️ x ≥ -1
- 분모 자체: √(x + 1) ≠ 0 ➡️ x + 1 ≠ 0 ➡️ x ≠ -1
분모 조건을 합치면 x + 1 > 0, 즉 x > -1이 됩니다.
이제 x ≤ 6과 x > -1의 공통 범위를 찾으면 -1 < x ≤ 6 입니다.
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💡 참고
친구들, 무리식인지 아닌지 헷갈릴 수 있는 경우가 있어요! 🧐 바로 √x2 같은 식인데요.
이 식은 제곱근의 성질에 따라 |x| (x의 절댓값)와 같아지죠? 절댓값 기호는 루트 기호가 아니기 때문에, √x2 = |x|는 유리식(엄밀히 말하면 다항식의 일종으로 볼 수 있는)으로 취급되어 무리식으로 보지 않는답니다!
무리식은 근호 안에 문자가 있으면서, 그 근호를 벗길 수 없을 때를 말하는 거예요. 이 점을 잘 기억해두면 식을 분류할 때 도움이 될 거예요! 😉