218 제곱근의 계산 법칙 🧮: 루트끼리 곱하고 나누는 방법!
⭐ 핵심만정리
루트(√) 계산, 이 법칙들만 알면 어렵지 않아요! (단, a > 0, b > 0일 때 적용돼요!)
- 곱셈 법칙: 루트끼리 곱하면 루트 안에서 숫자끼리 곱해요!
√a × √b = √ab - 나눗셈 법칙: 루트끼리 나누면 루트 안에서 숫자끼리 나눠요!
√a / √b = √(a/b) - 루트 안의 제곱수 꺼내기: 루트 안에 제곱수가 곱해져 있으면 루트 밖으로 나올 수 있어요!
√a2b = a√b - 분모의 루트 안 제곱수 꺼내기: 분모의 루트 안에 제곱수가 있으면 루트 밖으로 나올 수 있어요!
√(a/b2) = √a / b
계산 결과를 나타낼 때는 근호 안의 제곱수는 루트 밖으로 꺼내서 가장 간단한 형태로 만들어주는 것이 약속이랍니다! 😉
📚 개념정리
안녕, 루트 탐험가 친구들! 🧭 오늘은 루트(√), 즉 제곱근이 포함된 식들을 어떻게 계산하는지 그 법칙들을 알아볼 거예요. 이 법칙들은 앞으로 더 복잡한 식을 다룰 때 기본이 되니 꼭 기억해주세요! 단, 오늘 배우는 법칙들은 특별한 언급이 없는 한 루트 안의 수 a와 b가 모두 0보다 클 때 (a > 0, b > 0) 성립한다는 점을 먼저 약속할게요! 😊
1. 제곱근의 곱셈: √a × √b = √ab
두 제곱근을 곱할 때는, 루트 기호는 하나로 합치고 루트 안의 숫자들끼리 곱해주면 돼요! 참 쉽죠?
예) √3 × √5 = √(3 × 5) = √15
예) √2 × √8 = √(2 × 8) = √16 = 4 (루트가 사라지기도 하네요!)
2. 제곱근의 나눗셈: √a / √b = √(a/b)
두 제곱근을 나눌 때도 비슷해요. 루트 기호를 하나로 합치고 루트 안의 숫자들끼리 나누어주면 된답니다!
예) √10 / √2 = √(10 / 2) = √5
예) √27 / √3 = √(27 / 3) = √9 = 3
3. 근호 안의 제곱인 인수 꺼내기: √a2b = a√b
루트 안에 어떤 수의 제곱이 곱해져 있다면, 그 수는 루트 밖으로 나올 수 있어요! 마치 a2의 루트가 a가 되는 것처럼요 (a>0일 때).
예) √12 = √(22 × 3) = √(22) × √3 = 2√3
예) √50 = √(52 × 2) = √(52) × √2 = 5√2
이렇게 루트 안의 수를 가장 작은 자연수로 만들어주는 것이 일반적이에요!
4. 분모의 근호 안의 제곱인 인수 꺼내기: √(a/b2) = √a / b
분수 형태에서 분모의 루트 안에 제곱수가 있다면, 그 수도 루트 밖으로 나올 수 있어요. 나눗셈 법칙과 제곱수 꺼내기 법칙을 합친 거라고 생각할 수 있죠!
예) √(5/32) = √(5/9) = √5 / √9 = √5 / 3
예) √(7/16) = √(7/42) = √7 / √16 = √7 / 4
계산 결과를 나타낼 때는 보통 근호 안에 있는 제곱수를 루트 밖으로 꺼내서 가장 간단한 형태로 표현해주는 것이 약속이에요. 예를 들어 √8 보다는 2√2로, √18 보다는 3√2로 나타내는 거죠!
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 다음 식을 간단히 하시오.
(1) √20 – √45 + √80
(2) √(2/5) × (√(10/3) – √(1/10))
(원본 문제: (1) √18 – √32 + √50 (2) √(3/10) × (√(5/6) – √(2/15)) )💡 풀이:
(1) √20 – √45 + √80
먼저 각 항의 루트 안의 수를 간단히 해볼게요.
- √20 = √(22 × 5) = 2√5
- √45 = √(32 × 5) = 3√5
- √80 = √(42 × 5) = 4√5
이제 식에 대입하면:
2√5 – 3√5 + 4√5
루트 안의 숫자가 모두 √5로 같으니, 앞의 숫자들끼리 계산하면 돼요!
= (2 – 3 + 4)√5 = 3√5
(2) √(2/5) × (√(10/3) – √(1/10))
분배법칙을 이용해서 괄호를 풀어볼게요.
= √(2/5) × √(10/3) – √(2/5) × √(1/10)
제곱근의 곱셈 법칙을 이용하면:
= √((2/5) × (10/3)) – √((2/5) × (1/10))
= √(20/15) – √(2/50)
약분하고 간단히 하면:
= √(4/3) – √(1/25)
= √4 / √3 – √1 / √25
= 2/√3 – 1/5
첫 번째 항의 분모를 유리화해 줄게요: 2/√3 = (2√3)/(√3√3) = (2√3)/3
= (2√3)/3 – 1/5
통분해서 계산하면 (조금 복잡하지만 끝까지!):
= (10√3)/15 – 3/15 = (10√3 – 3)/15
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💡 참고
친구들, 오늘 배운 제곱근의 계산 법칙은 루트 안의 수가 양수일 때 기본적으로 성립하는 것들이에요. 만약 루트 안에 음수가 들어가는 경우는 ‘음수의 제곱근’이라고 해서 고등학교 과정에서 허수 i를 배우면서 다루게 된답니다. 그때는 계산 법칙이 조금 달라질 수 있으니 주의해야 해요! 😮
지금 배우는 단계에서는 루트 안은 항상 0 이상이라고 생각하고, 오늘 배운 곱셈, 나눗셈, 제곱수 꺼내기 법칙을 잘 활용해서 식을 간단하게 만드는 연습을 많이 해보세요! 특히, 계산 결과를 쓸 때는 루트 안의 수를 최대한 간단하게! 제곱수는 밖으로! 분모는 유리화! 하는 습관을 들이면 좋답니다. 👍