217 제곱근의 성질 ✨: 루트 계산 마스터하기!
⭐ 핵심만정리
제곱근(루트) 계산의 기본이 되는 성질들을 깔끔하게 정리해 줄게요! 📝
- 성질 1: 제곱하면 루트가 사라져요! (a ≥ 0일 때)
- (√a)2 = a
- (-√a)2 = a
- √a2 = a
- √(-a)2 = a (단, a ≥ 0이므로 -a ≤ 0이지만, (-a)2 = a2이므로 결과는 같아요)
- 성질 2: 루트 안의 제곱은 절댓값으로 변신!
- √a2 = |a|
- 이것은 a ≥ 0이면 √a2 = a 이고, a < 0이면 √a2 = -a 라는 뜻이에요.
- 결과적으로 √a2의 값은 항상 0보다 크거나 같아요!
이 성질들만 잘 기억하면 루트 계산이 훨씬 쉬워질 거예요! 👍
📚 개념정리
안녕, 수학 탐험가 친구들! 🧭 지난 시간에는 제곱근이 무엇인지 배웠죠? 오늘은 이 제곱근, 즉 루트(√)가 어떤 재미있는 성질들을 가지고 있는지 함께 알아볼 거예요. 이 성질들을 잘 이해하면 루트 계산이 훨씬 쉽고 재미있어질 거랍니다! 😉
제곱근의 성질 (1): 제곱하면 루트 뿅! 사라지네?
우선 a가 0보다 크거나 같을 때 (a ≥ 0) 성립하는 기본적인 성질부터 살펴볼게요.
- √a 와 -√a 는 a의 제곱근이죠? 제곱근의 정의에 따라 이 수들은 제곱하면 a가 되는 수들이에요. 따라서 다음이 성립해요:
- (√a)2 = a
- (-√a)2 = a (음수를 제곱하면 양수가 되니까요!)
- 또한, a2의 양의 제곱근은 a이고 (a ≥ 0일 때), (-a)2도 결국 a2과 같으므로 다음이 성립해요:
- √a2 = a (여기서 a는 0 이상!)
- √(-a)2 = a (여기서도 a는 0 이상! (-a)2이 a2과 같고, 그 양의 제곱근은 a가 되죠.)
예를 들어 볼까요?
- (√5)2 = 5
- (-√7)2 = 7
- √32 = 3
- √(-4)2 = √16 = 4 (여기서 4는 |-4|와 같아요!)
제곱근의 성질 (2): 루트 안의 제곱, 절댓값(|a|)으로 변신! 🦸♂️
이번에는 a의 부호에 관계없이 항상 성립하는 아주 중요한 성질이에요! 바로 a2의 양의 제곱근, 즉 √a2에 대한 이야기인데요.
√a2 = |a|
이게 무슨 뜻일까요? |a|는 a의 절댓값을 의미하죠. 절댓값의 성질에 따라 다음과 같이 풀어서 생각할 수 있어요.
- 만약 a ≥ 0 (a가 0보다 크거나 같으면) |a| = a 이므로, √a2 = a가 됩니다.
- 만약 a < 0 (a가 0보다 작으면) |a| = -a 이므로, √a2 = -a가 됩니다. (이때 -a는 양수가 되겠죠!)
결국 √a2의 계산 결과는 a의 부호에 관계없이 항상 0보다 크거나 같은 값이 나온다는 것이 핵심이에요!
제곱근의 정의에 따르면, √a2은 제곱해서 a2이 되는 수 중에서 음수가 아닌 수를 의미해요. 제곱해서 a2이 되는 수는 a와 -a 두 가지가 있죠. 이 둘 중에서 음수가 아닌 값이 바로 √a2의 값이 되는 거예요.
예를 들어 볼게요!
- √52 = |5| = 5 (5 ≥ 0이므로 그대로 나와요)
- √(-5)2 = |-5| = 5 (-5 < 0이므로 부호가 바뀌어서 -(-5) = 5가 돼요)
어떤 경우든 결과는 양수 또는 0이 되죠?
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✅ 개념확인
✏️ 문제: a < 0 이고 b > 0 일 때, √a2 + √9b2을 간단히 하시오.
(원본 문제: a<0, b>0일 때, √a² + √4b² )💡 풀이:
제곱근의 성질 √x2 = |x|를 이용해 봅시다!
주어진 식은 √a2 + √9b2 = √a2 + √(3b)2 와 같아요.
이제 각 항을 절댓값으로 바꿔볼게요.
= |a| + |3b|
문제에서 a < 0이라고 했으므로, |a| = -a가 됩니다.
그리고 b > 0이라고 했으므로, 3b도 양수예요 (3b > 0). 따라서 |3b| = 3b가 됩니다.
이제 이것들을 다시 식에 넣으면:
|a| + |3b| = -a + 3b
따라서 답은 -a + 3b 입니다! 😄
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💡 참고
친구들, √a2을 계산할 때 가장 중요한 것은 a의 부호를 먼저 확인하는 거예요! 🧐
- a가 양수거나 0이면 루트와 제곱이 그냥 사라져서 a가 된다고 생각해도 괜찮아요. (예: √72 = 7)
- 하지만 a가 음수면, 루트와 제곱이 사라지면서 부호가 반대로 바뀐다고 생각해야 해요. (예: √(-7)2 = -(-7) = 7)
결국, √a2의 값은 항상 0 이상이라는 것, 그리고 그것이 바로 절댓값 |a|의 의미와 똑같다는 것을 기억하면 실수를 줄일 수 있을 거예요! 이 성질은 앞으로 수학 문제를 풀 때 정말 많이 사용되니 꼭 마스터해두세요! 💪