211 유리함수란 무엇일까? 🤔 다항함수와 분수함수 친구들!
⭐ 핵심만정리
함수의 세계에 새로운 친구 ‘유리함수’를 소개합니다! 🤝
- 유리함수란? 함수 y = f(x)에서 f(x)가 x에 대한 유리식일 때, 이 함수를 유리함수라고 해요. [cite: 159]
- 유리함수의 두 종류:
- 다항함수: f(x)가 x에 대한 다항식인 유리함수예요. [cite: 160] (예: y = 2x + 1, y = x2 – 3)
- 분수함수: f(x)가 x에 대한 분수식인 유리함수예요. [cite: 160] (예: y = 1/x, y = (x+1)/(x-2))
- 유리함수의 정의역: 특별히 언급되지 않으면, 분모가 0이 되지 않도록 하는 모든 실수의 집합을 정의역으로 생각해요! [cite: 161] 다항함수는 분모가 (0이 아닌) 상수이므로 정의역은 모든 실수예요.
📚 개념정리
안녕, 수학 탐험가 친구들! 🧭 우리가 지금까지 여러 종류의 함수들을 만나봤죠? 오늘은 그 함수 가족 중에서 ‘유리함수’라는 친구에 대해 알아볼 거예요. 유리식에 대해 배웠으니, 유리함수도 금방 이해할 수 있을 거예요! 😊
유리함수가 뭐예요? 🤔
함수 y = f(x)에서, x에 대한 식인 f(x)가 유리식일 때, 이 함수 y = f(x)를 유리함수라고 불러요. [cite: 159] 우리가 ‘유리식’은 다항식과 분수식을 모두 포함한다고 배웠죠? 그래서 유리함수도 그 안을 자세히 들여다보면 두 종류의 친구들이 있답니다!
유리함수의 두 단짝: 다항함수와 분수함수! 🤝
유리함수는 f(x)가 어떤 종류의 유리식이냐에 따라 다음과 같이 나눌 수 있어요.
- 다항함수: f(x)가 x에 대한 다항식으로 나타내어지는 유리함수를 다항함수라고 해요. [cite: 160] 우리가 이미 잘 알고 있는 일차함수, 이차함수 등이 모두 다항함수에 속하죠!
예) y = 3x – 2, y = -x2 + 5x – 1, y = 4 (상수함수도 다항함수!) - 분수함수: f(x)가 x에 대한 분수식으로 나타내어지는 유리함수를 분수함수라고 해요. [cite: 160] 즉, 분모에 x가 포함된 함수들이죠!
예) y = 2x, y = x – 1x + 3, y = 5x2 + 1
결국, 유리함수 = 다항함수 + 분수함수 라고 생각할 수 있겠네요! 다항식과 분수식을 합쳐서 유리식이라고 불렀던 것과 똑같죠? [cite: 162, 163]
유리함수의 정의역: 분모는 0이 될 수 없어! 🚫
함수에서 정의역은 x값이 될 수 있는 범위를 말하죠. 유리함수의 정의역은 어떻게 될까요? 특별히 정의역이 주어지지 않은 경우에는, 분모가 0이 되지 않도록 하는 모든 실수의 집합을 정의역으로 생각해요. [cite: 161] 왜냐하면 수학에서 분모가 0이 되는 것은 절대로 허용되지 않으니까요! 💣
- 다항함수의 정의역: 다항함수는 분모가 1 또는 0이 아닌 상수라고 볼 수 있어요. 그래서 분모가 0이 될 걱정이 없죠! 따라서 다항함수의 정의역은 항상 모든 실수예요. [cite: 164]
- 분수함수의 정의역: 분수함수는 분모에 x가 있기 때문에, 분모를 0으로 만드는 x값은 정의역에서 제외해야 해요. [cite: 164]
예를 들어, 유리함수 y = x – 1x – 3의 정의역을 구해볼까요? [cite: 164]
분모가 x – 3이므로, x – 3 ≠ 0이어야 해요. 즉, x ≠ 3이죠. [cite: 164]
따라서 이 함수의 정의역은 {x | x ≠ 3인 모든 실수}가 됩니다.
다른 예로, 유리함수 y = x – 1x2 + 1의 정의역은 어떨까요? [cite: 164]
분모가 x2 + 1인데, 실수 x에 대해 x2은 항상 0보다 크거나 같으므로 x2 + 1은 항상 1보다 크거나 같아요. 즉, 절대로 0이 될 수 없죠! [cite: 164]
따라서 이 함수의 정의역은 모든 실수가 됩니다. [cite: 164]
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✅ 개념확인
✏️ 문제 1: 다음 함수들을 다항함수와 분수함수로 분류하시오.
(1) y = 5x – 10
(2) y = 4x5
(3) y = -2x3 + x
(4) y = 72x + 1
(원본 문제: (1) y=2x-1 (2) y=3x/4 (3) y=-x³+1 (4) y=2/3x)💡 풀이 1:
- (1) y = 5x – 10: 일차식이므로 다항함수입니다.
- (2) y = 4x5: y = (4/5)x 와 같이 x에 대한 일차식으로 볼 수 있고, 분모가 상수 5이므로 다항함수입니다. [cite: 166]
- (3) y = -2x3 + x: 삼차식이므로 다항함수입니다.
- (4) y = 72x + 1: 분모에 x가 포함되어 있으므로 분수함수입니다.
정리하면, 다항함수는 (1), (2), (3)이고, 분수함수는 (4)입니다! [cite: 166]
✏️ 문제 2: 다음 보기의 함수 중 정의역이 모든 실수인 것만을 있는 대로 고르시오.
보기)
ㄱ. y = 53x + 2
ㄴ. y = x + 3x2 – 9
ㄷ. y = x – 2x2 + 2x + 5
(원본 문제: ㄱ. y=3/(2x+1) ㄴ. y=(x+2)/(x²-4) ㄷ. y=(x-1)/(x²+x+1) )💡 풀이 2:
정의역이 모든 실수이려면 분모가 절대로 0이 되지 않아야 해요!
- ㄱ. y = 53x + 2
분모 3x + 2 = 0이 되는 x = -2/3에서는 함숫값을 가질 수 없어요. [cite: 168] 따라서 정의역은 모든 실수가 아니에요. - ㄴ. y = x + 3x2 – 9
분모 x2 – 9 = (x-3)(x+3) = 0이 되는 x = 3 또는 x = -3에서는 함숫값을 가질 수 없어요. [cite: 169] 따라서 정의역은 모든 실수가 아니에요. - ㄷ. y = x – 2x2 + 2x + 5
분모 x2 + 2x + 5를 완전제곱식으로 바꿔보면 (x + 1)2 + 4가 돼요. 어떤 실수를 제곱하면 항상 0 이상이므로 (x + 1)2 ≥ 0이고, 여기에 4를 더하면 항상 4 이상이 되겠죠 ((x + 1)2 + 4 ≥ 4). 즉, 분모는 절대로 0이 될 수 없어요! [cite: 170]
따라서 정의역이 모든 실수인 것은 ㄷ 뿐입니다! [cite: 171]
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💡 참고
친구들, 여기서 잠깐! 🧐
함수 y = x + 3x2 – 9 같은 경우, 분모를 인수분해하면 y = x + 3(x – 3)(x + 3) 이 되고, x ≠ -3일 때는 y = 1x – 3으로 약분될 수 있어요.
하지만 그렇다고 해서 y = x + 3x2 – 9 과 y = 1x – 3 이 완전히 같은 함수일까요? 땡! 땡! 땡! 땡! 아니랍니다! 🙅♀️
왜냐하면 원래 함수 y = x + 3x2 – 9의 정의역은 x ≠ 3이고 x ≠ -3인 모든 실수이지만, 약분된 함수 y = 1x – 3의 정의역은 x ≠ 3인 모든 실수이기 때문이에요. 정의역이 다르므로 두 함수는 서로 다른 함수랍니다! (이런 부분은 고등학교 수학에서 더 자세히 다루게 될 거예요! 😉) [cite: 171]