공통수학1 3단원 378번│인수분해 개수 세기
3가지 소문항 – 인수분해 조건 분석
🏆 행복한 1등급
인수분해 조건을 만족하는 다항식의 개수를 세는 문제!
근과 계수의 관계를 활용하여 조건을 분석합니다.
📋 문제 핵심 파악
(1) 100개의 다항식 x²+x−1, x²+x−2, …, x²+x−100 중 (x+a)(x−b)로 인수분해되는 것의 개수 (a, b: 자연수)
(2) 1000 이하의 자연수 n에 대하여 f(x)=x²+2x−n이 (x+a)(x−b)로 인수분해되도록 하는 두 자연수 a, b가 존재할 때, 다항식 f(x)의 개수
(3) a, b가 정수이고 n이 50 이하의 자연수일 때, x³+(ab−1)x−n 중에서 (x+1)(x−a)(x−b)의 꼴로 인수분해되는 다항식의 개수
📚 소문항별 핵심 개념
(1) x²+x−k = (x+a)(x−b) 조건
근과 계수: a−b = 1, −ab = −k → ab = k
a = b+1이므로 (b+1)b = k
k = 1~100에서 b(b+1) 형태: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90
개수: 9개
(2) x²+2x−n = (x+a)(x−b) 조건
근과 계수: a−b = 2, ab = n
a = b+2이므로 n = (b+2)b = b²+2b
n ≤ 1000에서 b²+2b ≤ 1000
b ≤ 30 (31²+2×31 = 1023 > 1000)
개수: 30개
(3) x³+(ab−1)x−n = (x+1)(x−a)(x−b) 조건
(x+1)(x−a)(x−b) = x³−(a+b−1)x²+(ab−a−b)x+ab
계수 비교: a+b−1 = 0 → a+b = 1
ab−a−b = ab−1 ✓
상수항: ab = −n
a+b = 1, n ≤ 50 조건에서 정수 쌍 (a, b) 찾기
개수 계산
📝 문제 풀이 (답지)
📖 마플시너지 공통수학1 3단원 답지
🎬 영상 풀이
⚡ 빠르게 푸는 핵심 포인트
- (1): b(b+1) ≤ 100인 자연수 b 개수 → 9개
- (2): b²+2b ≤ 1000인 자연수 b 개수 → 30개
- (3): a+b=1, ab=−n (n≤50) 조건 분석
- 핵심: (x+a)(x−b) 전개 후 계수 비교!
⚠️ 자주 하는 실수 TOP 3
- 실수 1: 근과 계수 관계에서 부호 실수
- 실수 2: 범위 경계값 확인 누락
- 실수 3: (3)에서 정수 조건과 자연수 조건 혼동
🍯 행복한 1등급 꿀팁
- 인수분해 조건: (x+a)(x−b) = x²+(a−b)x−ab
- 연속 정수: n(n+1) 형태는 연속 두 정수의 곱
- 부등식: n² ≤ N에서 n ≤ √N로 범위 결정
- 체계적: 조건을 수식으로 정리 후 개수 세기