200 절댓값 그래프 (2): 대칭이동으로 완성하는 꺾인점의 비밀!

200 절댓값 그래프 (2) 🦋: 대칭이동으로 완성하는 꺾인점의 비밀!

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⭐ 핵심만정리

절댓값 그래프, 대칭이동만 알면 어렵지 않아요! 네 가지 변신 마법을 기억하세요! 🪄

y = |f(x)| : f(x) 그래프에서 x축 아랫부분을 위로 접어 올리기! (y값이 음수가 될 수 없어요)
y = f(|x|) : f(x) 그래프에서 y축 오른쪽 부분만 남기고, 이 부분을 y축에 데칼코마니! (x 대신 -x를 넣어도 y값이 같아요)
|y| = f(x) : f(x) 그래프에서 x축 윗부분만 남기고 (단, f(x) ≥ 0 부분), 이 부분을 x축에 데칼코마니! (y 대신 -y를 넣어도 식이 같아요)
|y| = f(|x|) : f(x) 그래프에서 제1사분면 부분만 남기고, 이 부분을 x축, y축, 원점에 모두 데칼코마니! (x, y 모두 절댓값!)

📚 개념정리

친구들, 안녕! 지난 시간에는 절댓값 안의 식이 0이 되는 지점을 기준으로 구간을 나눠서 절댓값 그래프를 그리는 방법을 배웠죠? 오늘은 한 단계 더 나아가서, 원래 함수의 그래프를 대칭이동시켜서 절댓값 그래프를 좀 더 쉽고 빠르게 그리는 비밀을 알려줄게요! 🤫 마치 마법처럼 그래프가 변신할 거예요!

절댓값 기호가 어디에 붙느냐에 따라 그래프 그리는 방법이 조금씩 달라요. 네 가지 경우를 살펴봅시다!

1. y = |f(x)| 그래프: x축 아래는 용납 못 해!

이 경우는 함수 전체에 절댓값이 씌워져 있죠? |f(x)|는 항상 0보다 크거나 같아야 해요. 그래서 이렇게 그려요:

먼저 y = f(x)의 그래프를 그려요. [cite: 49]
그래프 중에서 y ≥ 0인 부분 (x축 위쪽이나 x축에 닿는 부분)은 그대로 둬요. [cite: 49]
그래프 중에서 y < 0인 부분 (x축 아랫부분)은 x축을 기준으로 위로 착! 접어 올려서 대칭이동 시켜요. [cite: 49] 마치 땅속에 있던 그래프를 햇볕 보게 위로 쑥 끌어올리는 것 같죠? 🌱

y=|f(x)|
x축 아랫부분 접어 올리기

2. y = f(|x|) 그래프: y축아, 거울이 되어줘!

이번엔 x에만 절댓값이 있네요! |x|는 x가 양수든 음수든 항상 양수처럼 취급되죠 (|-2| = 2 처럼요!). 그래서 이렇게 그려요:

먼저 y = f(x)의 그래프를 그려요. [cite: 50]
그래프 중에서 x < 0인 부분 (y축 왼쪽 부분)은 과감히 지워요. 싹둑! ✂️ x ≥ 0인 부분 (y축 오른쪽이나 y축에 닿는 부분)만 남겨요. [cite: 50]
남겨둔 오른쪽 그래프를 y축에 대하여 데칼코마니처럼 대칭 복사해서 왼쪽에 그려 넣어요. [cite: 50] y축이 거울 역할을 하는 셈이죠! 🪞

y=f(|x|)
y축 오른쪽을 y축 대칭

3. |y| = f(x) 그래프: x축아, 이번엔 네가 거울! (단, f(x) ≥ 0)

y에 절댓값이 붙어있어요! |y|는 항상 0보다 크거나 같아야 하니까, f(x)도 0보다 크거나 같은 부분만 의미가 있어요. 그리는 방법은 이래요:

먼저 y = f(x)의 그래프를 그려요. [cite: 52]
그래프 중에서 y < 0인 부분 (x축 아랫부분)은 지워요. 그리고 f(x) < 0인 부분도 생각하지 않아요 (왜냐하면 |y|는 음수가 될 수 없으니까요!). y ≥ 0인 부분 (x축 윗부분 또는 x축에 닿는 부분)만 남겨요. [cite: 52]
남겨둔 위쪽 그래프를 x축에 대하여 데칼코마니처럼 대칭 복사해서 아래쪽에 그려 넣어요. [cite: 52] 이번엔 x축이 거울이 되는 거예요! 🌟

|y|=f(x)
x축 윗부분(f(x)≥0)을 x축 대칭

4. |y| = f(|x|) 그래프: 사방팔방 데칼코마니 대작전!

와, 이번엔 x에도 y에도 절댓값이 붙었네요! 이건 마치 1사분면의 그림을 온 세상에 펼쳐놓는 것과 같아요.

먼저 y = f(x)의 그래프를 그려요. [cite: 54]
그래프 중에서 x ≥ 0이고 y ≥ 0인 부분 (즉, 제1사분면과 축에 닿는 부분)만 남겨요. 나머지는 다 지워버려요! [cite: 54]
남겨둔 제1사분면의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동, y축에 대하여 대칭이동, 그리고 원점에 대하여 대칭이동 시켜서 나머지 사분면에도 그려 넣어요. [cite: 54] 그러면 아름다운 대칭 그래프가 완성! 💎

|y|=f(|x|)
제1사분면을 x축, y축, 원점 대칭

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✅ 개념확인

✏️ 문제: 함수 y = x – 1의 그래프를 기본으로 하여 다음 함수의 그래프를 상상하고 그려보세요!

(실제로는 $y=x-1$ 직선을 그리고 변형하는 것입니다. 여기서는 각 그래프의 핵심 특징을 말해볼게요.)

y = |x – 1|
y = |x| – 1 (이것은 f(|x|) 형태로, f(x)=x-1에 적용한 거예요)
|y| = x – 1
|y| = |x| – 1

💡 풀이:

기본 함수 f(x) = x – 1은 (1,0)과 (0,-1)을 지나는 직선이죠!

y = |x – 1|:
y = x – 1 그래프에서 x축 아랫부분(y<0 부분)인 x < 1일 때의 부분을 x축에 대해 접어 올린 모양이 돼요. (1,0)에서 꺾이는 V자 모양 그래프가 되겠죠! [cite: 49]
y = |x – 1| 그래프
(1,0)에서 꺾이는 V자
y = |x| – 1: (이것은 f(x)=x-1에서 x 대신 |x|를 넣은 y=f(|x|) 꼴이에요!)
y = x – 1 그래프의 y축 오른쪽(x ≥ 0) 부분을 남기고, 이 부분을 y축에 대칭 복사한 모양이 돼요. (0,-1)에서 꺾이는 V자 모양이 될 거예요! [cite: 50]
y = |x| – 1 그래프
(0,-1)에서 꺾이는 V자
|y| = x – 1:
먼저 y = x – 1 그래프에서 y ≥ 0인 부분(x ≥ 1인 부분)만 남겨요. 그리고 이 남긴 부분을 x축에 대칭 복사해요. (1,0)에서 시작해서 오른쪽으로 뻗어 나가는 > 모양이 되겠죠. (단, x-1 ≥ 0이어야 하므로 x ≥ 1인 부분만 그려져요) [cite: 52]
|y| = x – 1 그래프
(1,0) 시작 > 모양, x≥1
|y| = |x| – 1:
y = x – 1 그래프의 제1사분면 부분(x ≥ 1, y ≥ 0)을 먼저 찾아요. 이 경우는 (1,0)에서 시작해 오른쪽 위로 향하는 선분이 되겠네요. 이 부분을 x축, y축, 원점에 대해 각각 대칭이동하면 마름모 비슷한 모양이 될 수 있지만, |x|-1 ≥ 0 즉 |x| ≥ 1 조건 때문에 x절편이 (1,0), (-1,0)이고 y절편이 (0,-1)인 점들을 꼭지점으로 하는 모양이 될 거예요 (단, |y|≥0).
|y| = |x| – 1 그래프
제1사분면 y=x-1 (x≥1)을
x,y,원점 대칭. (다이아몬드 비슷한 형태)