197 역함수의 성질 🔄: 원래 함수와 찰떡궁합!
⭐ 핵심만정리
역함수끼리는 어떤 재미있는 성질들이 있을까요? 딱 정리해 줄게요! 😉
- 역함수의 역함수는? 바로 원래 함수로 돌아와요! (f-1)-1 = f [cite: 14]
- 함수와 그 역함수를 순서대로 합성하면? 넣은 값이 그대로 나오는 항등함수가 된답니다!
- (f-1 ∘ f)(x) = x (원래 함수의 정의역 X의 모든 원소 x에 대해) [cite: 14]
- (f ∘ f-1)(y) = y (원래 함수의 치역 Y의 모든 원소 y에 대해) [cite: 14]
- 두 함수를 합성한 것의 역함수는? 각 함수의 역함수를 순서를 바꿔서 합성한 것과 같아요! (g ∘ f)-1 = f-1 ∘ g-1 (순서가 뒤바뀌는 마법! ✨) [cite: 14]
📚 개념정리
안녕 친구들! 오늘은 역함수가 가진 아주 특별하고 신기한 능력들, 바로 ‘역함수의 성질’에 대해 함께 탐험해 볼 거예요. 역함수는 원래 함수와 어떤 관계를 맺고 있을까요? 마치 단짝 친구처럼 서로에게 특별한 의미가 있답니다! 자, 그럼 시작해 볼까요? 😊
1. 역함수의 역함수는 원래 함수! (f-1)-1 = f
이건 정말 간단해요! 어떤 함수의 역함수를 구하고, 그 역함수의 역함수를 또 구하면 원래 처음 함수로 돌아온다는 뜻이에요. [cite: 14, 15] 마치 옷을 뒤집어 입었다가 다시 제대로 뒤집어 입으면 원래 모습이 되는 것과 같아요. 마법처럼 원래대로 돌아오죠! ✨
예를 들어, 함수 f(x) = x + 2가 있다고 해봐요.
이 함수의 역함수는 f-1(x) = x – 2예요. (y=x+2 → x=y-2 → y=x-2)
자, 그럼 이 f-1(x) = x – 2의 역함수를 구해볼까요?
y = x – 2에서 x에 대해 풀면 x = y + 2.
이제 x와 y를 바꾸면 y = x + 2.
어때요? 다시 원래 함수 f(x) = x + 2로 돌아왔죠? 정말 신기하죠!
2. 함수와 역함수의 합성은 항등함수! (f-1 ∘ f)(x) = x, (f ∘ f-1)(y) = y
어떤 함수 f와 그 역함수 f-1를 합성하면, 마치 아무 일도 없었다는 듯이 넣었던 값이 그대로 나오는 ‘항등함수’가 돼요. [cite: 14] 항등함수는 입력한 값을 그대로 출력하는 함수(I(x)=x)를 말해요.
즉, f를 먼저 적용하고 f-1를 적용하거나(f-1(f(x))), f-1를 먼저 적용하고 f를 적용하면(f(f-1(y))) 결국 처음 값으로 돌아온다는 거예요! [cite: 15, 16]
예를 들어, f(x) = 3x라고 해볼게요. 이 함수의 역함수는 f-1(x) = x/3 이죠.
이제 합성해 볼까요?
- (f-1 ∘ f)(x) = f-1(f(x)) = f-1(3x) = (3x)/3 = x. 와! x가 그대로 나왔어요!
- (f ∘ f-1)(x) = f(f-1(x)) = f(x/3) = 3(x/3) = x. 이것도 x가 그대로 나왔네요!
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3. 합성함수의 역함수는 순서가 반대! (g ∘ f)-1 = f-1 ∘ g-1
두 함수 f와 g를 차례로 합성한 함수 (g ∘ f)의 역함수를 구하고 싶다면, 각 함수의 역함수인 f-1와 g-1를 구해서 순서를 바꿔서 합성하면 돼요! [cite: 14] 즉, f-1를 먼저 적용하고 g-1를 나중에 적용하는 거죠. 마치 양말을 신고 신발을 신는 과정의 반대는, 신발을 먼저 벗고 양말을 벗는 것과 같아요. 순서가 중요하답니다!
예를 들어, f(x) = x + 1 이고 g(x) = 2x 라고 해봐요.
먼저 (g ∘ f)(x)는 g(f(x)) = g(x+1) = 2(x+1) = 2x + 2예요.
이것의 역함수 (g ∘ f)-1(x)를 구하면:
y = 2x + 2 → 2x = y – 2 → x = (y-2)/2.
따라서 (g ∘ f)-1(x) = (x-2)/2 예요.
이제 각 함수의 역함수를 구해볼게요.
f-1(x) = x – 1 이고, g-1(x) = x/2 예요.
순서를 바꿔서 합성하면 (f-1 ∘ g-1)(x) = f-1(g-1(x)) = f-1(x/2) = (x/2) – 1 = (x-2)/2.
어때요? (g ∘ f)-1}(x)와 (f-1 ∘ g-1)(x)가 똑같죠? 정말 신기한 성질이에요!
✅ 개념확인
✏️ 문제 1: 함수 f(x) = x2 + 3 (x ≥ 0)에 대하여 (f-1)-1(2) + (f-1 ∘ f)(5)의 값을 구하시오.
💡 풀이 1:
역함수의 성질을 이용하면 쉽게 풀 수 있어요!
- 먼저, (f-1)-1(2)는 역함수의 역함수니까 원래 함수 f(2)와 같아요. [cite: 14, 24]
f(2) = (2)2 + 3 = 4 + 3 = 7 [cite: 24] - 다음으로, (f-1 ∘ f)(5)는 함수와 그 역함수를 합성한 것이므로 항등함수가 되어 값은 그대로 5가 나와요. [cite: 14, 24]
- 따라서 구하는 값은 7 + 5 = 12 입니다! 🎉 [cite: 24]
✏️ 문제 2: 두 함수 f, g에 대하여 (g ∘ f)(x) = 2x + 4일 때, (f-1 ∘ g-1)(x)를 구하시오.
💡 풀이 2:
이 문제는 합성함수의 역함수 성질을 사용하면 돼요!
- 우리가 배운 성질 중에 (f-1 ∘ g-1)(x) = (g ∘ f)-1(x)가 있었죠? (순서가 반대로 바뀐다는 것 기억나죠?) [cite: 14, 25]
- 그러니까 우리는 함수 h(x) = (g ∘ f)(x) = 2x + 4의 역함수 h-1(x)를 구하면 되는 거예요. [cite: 24, 25]
- y = 2x + 4로 두고 역함수를 구해봅시다.
- x에 대해 풀면: 2x = y – 4 → x = (y – 4)/2 [cite: 25]
- x와 y를 바꾸면: y = (x – 4)/2 [cite: 25]
- 따라서 (f-1 ∘ g-1)(x) = (g ∘ f)-1(x) = (x – 4)/2 입니다! 🥳 [cite: 25]
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💡 참고
역함수의 성질을 배울 때 몇 가지 더 알아두면 좋은 점들이 있어요!
- 함수 f와 그 역함수 f-1를 합성하면 항등함수가 된다고 했죠? 이때 f-1 ∘ f = IX는 함수 f의 정의역 X에서 정의되는 항등함수이고, f ∘ f-1 = IY는 함수 f의 치역 Y에서 정의되는 항등함수예요. [cite: 14] 만약 X와 Y가 다르면 이 두 항등함수는 범위가 다른, 서로 다른 함수가 될 수 있답니다!
- 합성함수의 역함수는 (g ∘ f)-1 = f-1 ∘ g-1 처럼 순서가 바뀐다는 것, 정말 중요해요! [cite: 14, 20] 잊지 않도록 “양말 신고 신발 신기” 예시를 꼭 기억해주세요! 😉