함수 y = ^k&frasL;_x (k \ne 0인 상수)의 그래프는 다음과 같은 특징을 가져요.

• 정의역과 치역: 모두 0을 제외한 실수 전체의 집합. (x \ne 0, y \ne 0)
• 그래프 모양:
  • k > 0 일 때: 그래프는 제1사분면과 제3사분면에 그려지는 한 쌍의 매끄러운 곡선 (직각쌍곡선). x가 증가하면 y는 감소.
  • k < 0 일 때: 그래프는 제2사분면과 제4사분면에 그려지는 한 쌍의 매끄러운 곡선 (직각쌍곡선). x가 증가하면 y도 증가.
  • |k|의 값이 클수록 그래프는 원점에서 멀어지고, 작을수록 가까워져요.
• 점근선 (Asymptotes): 그래프가 한없이 가까워지지만 만나지는 않는 직선.
  → x축 (직선 y=0)과 y축 (직선 x=0)이 점근선이 됩니다.
• 대칭성:
  • 원점(0,0)에 대하여 대칭.
  • 두 직선 y=x와 y=-x에 대하여 각각 대칭.

개념정리 195-1: 분모에 x가 있는 가장 기본적인 형태!

우리가 함수 y=f(x)에서 f(x)가 x에 대한 유리식일 때 유리함수라고 했죠? 그중에서도 분모에 미지수 x가 포함된 가장 기본적인 형태가 바로 y = ^k&frasL;_x 입니다. (단, k는 0이 아닌 상수)

이 함수는 x와 y의 곱이 항상 k로 일정하다는(xy=k) 관계를 나타내므로, 우리가 중학교 때 배웠던 반비례 관계의 그래프와 같아요!

여기서 k는 0이 아니어야 해요. 만약 k=0이라면 y=0 (단, x \ne 0)이 되어 x축에서 원점만 제외된 형태가 되므로, 일반적인 유리함수의 특징을 갖지 않기 때문입니다.

개념정리 195-2: 한 쌍의 아름다운 곡선, 직각쌍곡선!

함수 y = ^k&frasL;_x (k \ne 0)의 그래프는 다음과 같은 중요한 특징들을 가지고 있어요.

1. 정의역과 치역

• 정의역: 분모가 0이 되면 안 되므로, x \ne 0인 모든 실수.
• 치역: y값 역시 0이 될 수 없으므로 (만약 y=0이면 k=0이어야 하는데 k \ne 0 조건), y \ne 0인 모든 실수.

2. 그래프의 모양과 위치 (k의 부호에 따라)

• k > 0 일 때:
  그래프는 제1사분면과 제3사분면에 각각 한 개씩, 총 한 쌍의 매끄러운 곡선으로 그려집니다.
  각 사분면에서 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하는 형태를 보여요.
  여기에 k>0일 때 y=k/x 그래프 (제1,3사분면)
• k < 0 일 때:
  그래프는 제2사분면과 제4사분면에 각각 한 개씩, 총 한 쌍의 매끄러운 곡선으로 그려집니다.
  각 사분면에서 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하는 형태를 보여요.
  여기에 k<0일 때 y=k/x 그래프 (제2,4사분면)
• |k|의 크기: 절댓값 |k|가 커질수록 그래프는 원점에서 더 멀어지고, |k|가 작아질수록 원점에 더 가까워집니다. (곡선의 휘어짐 정도가 달라짐)

이 한 쌍의 곡선을 직각쌍곡선이라고도 부릅니다.

3. 점근선

그래프가 한없이 가까워지지만 결코 만나지는 않는 직선을 점근선이라고 해요. 함수 y = ^k&frasL;_x의 점근선은 바로

• x축 (직선 y=0)
• y축 (직선 x=0)

이 두 개입니다. x값이 한없이 커지거나 작아지면 y값은 0에 가까워지고 (x축 점근), x값이 0에 가까워지면 y값은 한없이 커지거나 작아지기 때문이죠 (y축 점근).

4. 대칭성

함수 y = ^k&frasL;_x의 그래프는 다음과 같은 대칭성을 가집니다.

• 원점(0,0)에 대하여 대칭입니다. (기함수의 특징)
• 두 직선 y=x와 y=-x에 대하여 각각 대칭입니다.