193 역함수 그래프와 직선 y=x의 교점: f(x)=x로 간단히 해결! 🤝
안녕하세요, 그래프의 만남을 탐구하는 친구들! 👋 지난 시간에는 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f-1(x)의 그래프가 항상 직선 y=x에 대하여 대칭이라는 중요한 성질을 배웠어요. 그렇다면 이 두 그래프가 만나는 교점은 어떤 특별한 위치에 있을까요? 그리고 이 교점을 어떻게 하면 더 쉽게 찾을 수 있을까요? 오늘은 바로 이 질문에 대한 답을 찾아볼 거예요. 역함수를 직접 구하지 않고도 교점을 찾는 마법 같은 방법이 있답니다! 함께 그 비밀을 파헤쳐 볼까요? ✨
📝 핵심만정리: f(x)와 f-1(x)의 교점 찾기!
함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f-1(x)의 그래프의 교점은 다음과 같은 성질을 이용해 찾을 수 있어요.
- 일반적으로, 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f-1(x)의 그래프의 교점은 직선 y=x 위에 있다. (단, 항상 그런 것은 아니지만 고등학교 과정에서는 주로 이 경우를 다룸)
- 따라서, 두 그래프의 교점을 찾기 위해서는 역함수 f-1(x)를 직접 구하여 f(x)=f-1(x)를 푸는 것보다, 더 간단하게 f(x)=x (또는 f-1(x)=x)라는 방정식을 풀어서 교점의 x좌표를 찾고, 그 교점은 y=x 위에 있으므로 y좌표도 같다는 것을 이용합니다.
주의! 함수 f(x)가 감소함수일 경우에는 교점이 직선 y=x 위에 있지 않을 수도 있지만, 증가함수일 경우에는 교점이 존재한다면 반드시 직선 y=x 위에만 존재합니다.
🤔 교점은 왜 직선 y=x 위에 있을까요?
개념정리 193-1: 대칭성과 만남의 지점!
함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f-1(x)의 그래프는 항상 직선 y=x에 대하여 대칭이라고 했죠?
만약 어떤 점 P(a,b)가 두 그래프의 교점이라면, 이 점은 y=f(x) 위에도 있고 y=f-1(x) 위에도 있어야 해요.
즉, b=f(a)이고 b=f-1(a)가 성립합니다.
b=f-1(a)라는 것은 역함수의 정의에 의해 a=f(b)라는 뜻이죠.
따라서 교점 (a,b)는 b=f(a)와 a=f(b)를 동시에 만족해야 합니다.
만약 f(x)가 증가함수라면, 이 두 조건을 동시에 만족하는 경우는 a=b일 때 뿐이에요. 즉, 교점 (a,a)는 직선 y=x 위에 있게 됩니다.
감소함수의 경우에는 y=x 위에 있지 않은 교점((a,b)와 (b,a) 쌍, a \ne b)이 존재할 수도 있지만, 고등학교 과정에서는 대부분의 문제가 증가함수이거나 y=x 위의 교점을 묻는 경우로 나옵니다.
그래서 우리는 일반적으로 “함수 y=f(x)와 그 역함수 y=f-1(x)의 교점은 직선 y=x 위에 있다“고 생각하고 문제를 풀게 됩니다.
🛠️ 교점 구하는 방법: f(x)=x를 풀어라!
개념정리 193-2: 역함수 없이 교점 찾기!
함수 y=f(x)와 그 역함수 y=f-1(x)의 교점을 찾기 위해, 굳이 역함수 f-1(x)를 직접 구해서 f(x) = f-1(x)라는 복잡한 방정식을 풀 필요는 없어요. (물론 이렇게 풀어도 답은 나오지만, 계산이 번거로울 수 있습니다.)
대부분의 경우, 두 그래프의 교점은 직선 y=x 위에 있으므로, 우리는 더 간단하게 원래 함수 y=f(x)와 직선 y=x의 교점을 찾는 것으로 대신할 수 있습니다.
즉, 방정식 f(x) = x를 풀어서 x 값을 구하고, 그 x 값이 바로 교점의 x좌표이자 y좌표가 되는 것입니다 (y=x 위의 점이므로).
예시: 함수 f(x) = x2 – 4x + 6 (x \ge 2)의 그래프와 그 역함수 y=f-1(x)의 그래프의 교점의 좌표를 구해봅시다. (PDF Example)
주어진 함수 f(x)는 정의역 x \ge 2에서 증가함수이므로, 역함수와의 교점은 직선 y=x 위에 있습니다.
따라서 방정식 f(x)=x를 풉니다.
x2 – 4x + 6 = x
x2 – 5x + 6 = 0
인수분해하면 (x-2)(x-3) = 0.
따라서 x=2 또는 x=3 입니다.
이 x 값들은 모두 원래 함수의 정의역 x \ge 2에 포함됩니다.
교점은 직선 y=x 위에 있으므로, 교점의 좌표는 (2, 2)와 (3, 3) 입니다.
🧐 개념확인 (위 예제로 대체)
위에서 다룬 예시가 함수 f(x)와 그 역함수 f-1(x)의 교점을 찾는 일반적인 방법을 잘 보여주고 있습니다. 역함수를 직접 구하지 않고, f(x)=x라는 방정식을 풀어 해결하는 것이 훨씬 효율적이라는 것을 알 수 있었죠? 단, 원래 함수가 증가함수라는 조건(또는 교점이 y=x 위에 있다는 정보)이 있을 때 주로 사용되는 방법임을 기억하세요!
오늘은 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f-1(x)의 그래프가 직선 y=x에 대하여 대칭이라는 성질을 이용하여, 두 그래프의 교점을 찾는 방법에 대해 배웠습니다. 일반적으로 f(x)=x라는 방정식을 풀어서 교점의 좌표를 구할 수 있었죠. 이 방법은 역함수를 직접 구하는 번거로움을 줄여주는 매우 유용한 기술이랍니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 유리식과 그 연산에 대해 알아보겠습니다. 🍽️