함수 y=f(x)와 그 역함수 y=f^-1(x)의 그래프 사이에는 다음과 같은 중요한 관계가 있어요.

• 함수 y=f(x)의 역함수 y=f^-1(x)의 그래프는,
  원래 함수 y=f(x)의 그래프를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 것과 같아요.
• 따라서, 원래 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f^-1(x)의 그래프의 교점은,
  만약 존재한다면, 직선 y=x 위에 있거나, 또는 (a,b)와 (b,a) (a \ne b) 쌍으로 존재할 수 있습니다. (하지만 고등학교 과정에서는 주로 직선 y=x 위의 교점만 다룹니다.)
  특히 함수 f(x)가 증가함수이면 교점은 반드시 y=x 위에만 존재합니다.

개념정리 192-1: x와 y가 바뀌면 그래프도 대칭!

함수 y=f(x) 위의 임의의 점을 P(a,b)라고 하면, b=f(a)가 성립하죠.

이때, 역함수의 정의에 따라 f^-1(b)=a가 성립합니다. 이것은 점 P'(b,a)가 역함수 y=f^-1(x)의 그래프 위에 있다는 것을 의미해요.

그런데 점 P(a,b)와 점 P'(b,a)는 어떤 관계일까요? 바로 직선 y=x에 대하여 서로 대칭인 관계랍니다! (137번 포스팅에서 점 (x,y)를 직선 y=x에 대칭이동하면 (y,x)가 된다고 배웠죠?)

따라서, 함수 y=f(x)의 그래프 위의 모든 점을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 그 점들은 모두 역함수 y=f^-1(x)의 그래프 위에 있게 됩니다.

결론적으로, 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f^-1(x)의 그래프는 항상 직선 y=x에 대하여 대칭입니다.

개념정리 192-2: y=x와의 교점을 찾아라!

함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f^-1(x)의 그래프가 만나는 교점은 어떤 특별한 위치에 있을까요?

두 그래프가 직선 y=x에 대하여 대칭이므로, 만약 두 그래프가 만난다면 그 교점은 직선 y=x 위에 있는 경우가 많습니다.

따라서, y=f(x)와 y=f^-1(x)의 교점을 찾기 위해서는, 연립방정식 {^y=f(x)_y=f^-1(x)를 푸는 대신, 더 간단하게 연립방정식 {^y=f(x)_y=x를 풀어 그 교점을 찾는 방법을 주로 사용합니다. 즉, f(x)=x라는 방정식을 풀어서 x좌표를 찾고, 그 x좌표가 y좌표와 같은 점이 바로 교점이 됩니다.