일대일대응인 함수 f: X \rightarrow Y와 그 역함수 f^-1: Y \rightarrow X에 대하여 다음 성질들이 성립해요.

• 1. 역함수의 역함수는 원래 함수!
  (f^-1)^-1 = f
• 2. 함수와 그 역함수를 합성하면 항등함수!
  (f^-1 \circ f)(x) = x (단, x \in X, 즉 f^-1 \circ f = I_X (X에서의 항등함수))
  (f \circ f^-1)(y) = y (단, y \in Y, 즉 f \circ f^-1 = I_Y (Y에서의 항등함수))
• 3. 합성함수의 역함수는 순서가 반대! (두 함수 f,g가 모두 일대일대응일 때)
  (g \circ f)^-1 = f^-1 \circ g^-1
  (마치 양말을 신고 신발을 신은 후, 벗을 때는 신발을 먼저 벗고 양말을 벗는 순서와 같아요!)

개념정리 191-1: 거꾸로의 거꾸로는 원래대로!

함수 f가 X에서 Y로의 대응이라면, 그 역함수 f^-1은 Y에서 X로의 거꾸로 가는 대응이었죠?

그렇다면 이 역함수 f^-1에 대해 다시 역함수를 생각하면 어떻게 될까요? 즉, (f^-1)^-1은 무엇일까요?

Y에서 X로 가는 대응(f^-1)을 다시 거꾸로 하면, 당연히 원래의 X에서 Y로 가는 대응(f)으로 돌아오겠죠!

(f^-1)^-1 = f

마치 두 번 뒤집으면 원래 모습이 되는 것과 같아요!

개념정리 191-2: 갔다가 바로 돌아오면 제자리!

함수 f: X \rightarrow Y와 그 역함수 f^-1: Y \rightarrow X를 합성하면 어떤 결과가 나올까요?

1. (f^-1 \circ f)(x):

정의역 X의 원소 x를 먼저 함수 f에 대응시키면 f(x) (Y의 원소)가 됩니다.
이 f(x)를 다시 역함수 f^-1에 대응시키면, f^-1(f(x))는 다시 원래의 x로 돌아오겠죠!
즉, (f^-1 \circ f)(x) = x 이고, 이것은 정의역 X에서의 항등함수 I_X와 같아요.

2. (f \circ f^-1)(y):

이번에는 공역 Y(이자 역함수의 정의역)의 원소 y를 먼저 역함수 f^-1에 대응시키면 f^-1(y) (X의 원소, 즉 f(x)=y를 만족하는 x)가 됩니다.
이 f^-1(y)를 다시 원래 함수 f에 대응시키면, f(f^-1(y))는 다시 원래의 y로 돌아오겠죠!
즉, (f \circ f^-1)(y) = y 이고, 이것은 집합 Y에서의 항등함수 I_Y와 같아요.

결국, 함수와 그 역함수를 어떤 순서로 합성하든, 그 결과는 항상 항등함수가 된답니다! (단, 각 합성함수의 정의역에 주의해야 해요.)

개념정리 191-3: 양말 신고 신발 신기, 벗을 땐 반대로!

두 함수 f: X \rightarrow Y와 g: Y \rightarrow Z가 모두 일대일대응이어서 각각의 역함수 f^-1, g^-1이 존재한다고 할 때, 합성함수 g \circ f: X \rightarrow Z도 일대일대응이 되고 그 역함수가 존재해요.

이 합성함수 g \circ f의 역함수 (g \circ f)^-1는 어떻게 될까요?

합성 과정은 x \xrightarrow{f} f(x) \xrightarrow{g} g(f(x)) 입니다.
이 과정을 거꾸로 되돌리려면, 먼저 g의 역함수 g^-1을 적용하고, 그 다음에 f의 역함수 f^-1을 적용해야 원래의 x로 돌아올 수 있겠죠?

즉, g(f(x)) \xrightarrow{g^{-1}} f(x) \xrightarrow{f^{-1}} x 입니다.

따라서 합성함수의 역함수는 각 함수의 역함수를 취한 후 합성 순서가 반대로 바뀝니다!

(g \circ f)^-1 = f^-1 \circ g^-1

마치 양말을 먼저 신고 그 위에 신발을 신었다면, 벗을 때는 신발을 먼저 벗고 그 다음에 양말을 벗는 순서와 같아요!