• 역함수 (Inverse Function):
  • 함수 f: X \rightarrow Y가 일대일대응일 때, 집합 Y의 각 원소 y에 대하여 f(x)=y인 집합 X의 원소 x를 대응시키는 새로운 함수를 f의 역함수라고 해요.
  • 기호로는 f^{-1}와 같이 나타내고, “f inverse” 또는 “f의 역함수”라고 읽어요.
  • 역함수 f^{-1}는 Y에서 X로의 함수입니다 (f^{-1}: Y \rightarrow X).
  • 즉, y = f(x) \iff x = f^{-1}(y) 관계가 성립합니다.
• 역함수의 존재 조건:
  • 함수 f의 역함수 f^{-1}이 존재하려면, 원래 함수 f는 반드시 일대일대응이어야 합니다.

개념정리 189-1: Y에서 X로의 반대 방향 대응!

함수 f가 집합 X의 원소 x를 집합 Y의 원소 y에 대응시키는 관계(y=f(x))라고 할 때, 이 대응을 거꾸로 하여 Y의 원소 y에서 X의 원소 x로 되돌아가는 대응을 생각할 수 있어요. 만약 이 거꾸로 가는 대응도 함수의 조건(Y의 각 원소에 X의 원소가 오직 하나씩 대응)을 만족한다면, 이 새로운 함수를 원래 함수 f의 역함수라고 합니다.

함수 f의 역함수는 기호로 f^{-1}와 같이 나타내고, “f inverse (에프 인버스)” 또는 “f의 역함수”라고 읽습니다.

따라서 다음 관계가 성립해요:

y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)

즉, 원래 함수 f의 정의역 X는 역함수 f^{-1}의 공역이 되고, 원래 함수 f의 공역 Y는 역함수 f^{-1}의 정의역이 됩니다. (f: X \rightarrow Y 이면 f^{-1}: Y \rightarrow X)

개념정리 189-2: 거꾸로 가는 길도 함수여야 한다!

모든 함수가 역함수를 가질 수 있는 것은 아니에요. 어떤 함수 f의 역함수 f^{-1}이 존재하려면, 원래 함수 f가 반드시 일대일대응이어야 합니다.

왜 그럴까요? 역함수 f^{-1}: Y \rightarrow X도 함수의 정의를 만족해야 하기 때문이에요.

• 만약 f가 일대일함수가 아니라면? (즉, x_1 \ne x_2인데 f(x_1)=f(x_2)=y인 경우가 있다면)
  → 거꾸로 대응시킬 때, Y의 원소 y에 X의 원소 x_1과 x_2 두 개가 대응되게 됩니다. 이것은 “Y의 각 원소에 X의 원소가 오직 하나씩 대응”되어야 한다는 함수의 정의에 위배되죠.
• 만약 f의 치역과 공역이 같지 않다면? (즉, 공역 Y에는 속하지만 치역 f(X)에는 속하지 않는 원소 y’가 있다면)
  → 이 원소 y’는 원래 함수 f로부터 화살표를 받지 못한 원소이므로, 거꾸로 대응시킬 때 y’에서 출발하는 화살표가 없게 됩니다. 이것은 “Y의 각 원소에 X의 원소가 대응”되어야 한다는 함수의 정의에 위배되죠.

따라서, 이 두 가지 문제를 모두 해결하려면 원래 함수 f는 일대일함수이면서 동시에 치역과 공역이 같은, 즉 일대일대응이어야만 역함수가 존재할 수 있습니다.