187 특별한 함수들: 일대일함수, 일대일대응, 항등함수, 상수함수! ✨
안녕하세요, 함수의 다양한 매력을 탐구하는 친구들! 👋 함수는 정의역의 각 원소에 공역의 원소가 오직 하나씩 대응되는 관계라고 했죠? 오늘은 이 기본적인 함수의 정의를 만족하면서도, 거기에 더하여 특별한 성질을 갖는 여러 가지 함수들에 대해 알아볼 거예요. 마치 사람마다 각기 다른 개성이 있듯이, 함수들도 저마다 독특한 특징을 가지고 있답니다! 일대일함수, 일대일대응, 항등함수, 그리고 상수함수가 바로 오늘의 주인공들이에요. 각 함수가 어떤 의미를 갖고, 그래프는 어떤 모양을 하는지 함께 살펴볼까요? 🚀
📝 핵심만정리: 특별한 함수들의 정의!
함수 f: X \rightarrow Y에 대하여,
- 일대일함수 (One-to-one Function):
→ 정의역 X의 서로 다른 두 원소에 대응하는 함숫값이 항상 서로 다를 때.
(x_1 \ne x_2이면 f(x_1) \ne f(x_2)이다. 또는 대우 명제: f(x_1) = f(x_2)이면 x_1 = x_2이다.) - 일대일대응 (One-to-one Correspondence / Bijection):
→ 다음 두 조건을 모두 만족하는 함수:
(1) 일대일함수이다.
(2) 치역과 공역이 같다. (f(X) = Y) - 항등함수 (Identity Function):
→ 정의역 X의 각 원소가 자기 자신에게 대응되는 함수. (정의역과 공역이 같아야 함)
(f(x) = x인 함수) - 상수함수 (Constant Function):
→ 정의역 X의 모든 원소가 공역 Y의 단 하나의 원소에만 대응되는 함수.
(f(x) = c (c는 상수)인 함수)
➡️ 일대일함수: 서로 다른 x는 서로 다른 y로!
개념정리 187-1: 함숫값이 겹치지 않아요!
함수 f: X \rightarrow Y가 일대일함수가 되려면, 정의역 X에 있는 서로 다른 두 원소 x_1, x_2에 대하여, 그 함숫값 f(x_1)과 f(x_2)도 항상 서로 달라야 합니다.
수학적으로 표현하면 다음과 같아요:
정의역 X의 임의의 두 원소 x_1, x_2에 대하여, x_1 \ne x_2 이면 f(x_1) \ne f(x_2)이다.
이것의 대우 명제인 “f(x_1) = f(x_2)이면 x_1 = x_2이다.“도 일대일함수를 판별하는 데 자주 사용됩니다.
쉽게 말해, 일대일함수는 “한 명의 짝에게만 화살표를 주고받는 관계”와 같아요. (단, 공역의 원소 중에는 화살표를 받지 못하는 원소가 있을 수도 있어요.)
그래프의 특징: 일대일함수의 그래프는 x축에 평행한 직선(가로선) y=k와 많아야 한 점에서만 만납니다 (가로선 테스트). 만약 두 점 이상에서 만난다면, 서로 다른 x값에 대해 같은 y값이 대응된다는 뜻이므로 일대일함수가 아니에요.
🎯 일대일대응: 빈틈없이 딱 맞는 짝짓기!
개념정리 187-2: 일대일함수 + (치역 = 공역)!
함수 f: X \rightarrow Y가 일대일대응이 되려면 다음 두 가지 조건을 모두 만족해야 해요.
- 일대일함수여야 합니다. (서로 다른 x는 서로 다른 y로!)
- 치역과 공역이 같아야 합니다. (f(X)=Y, 즉 공역의 모든 원소가 빠짐없이 화살표를 받아야 함!)
쉽게 말해, 일대일대응은 정의역의 원소와 공역의 원소가 하나도 남거나 모자람 없이 완벽하게 1:1로 짝지어지는 관계예요. 소개팅에서 모든 참가자가 각자 마음에 드는 한 명씩과 커플이 되는 상황과 비슷하죠! 🥰
그래프의 특징: 일대일함수의 그래프 특징(가로선 테스트 통과)을 가지면서, 치역과 공역이 같아야 하므로 그래프가 공역 전체를 덮어야 합니다.
일대일대응은 나중에 배울 ‘역함수’가 존재하기 위한 매우 중요한 조건이 된답니다!
🪞 항등함수: 나는 나에게로! (f(x)=x)
개념정리 187-3: 입력과 출력이 같은 함수!
함수 f: X \rightarrow X (정의역과 공역이 같은 경우)에서, 정의역 X의 모든 원소 x가 자기 자신 x에게 그대로 대응될 때, 이 함수 f를 항등함수(Identity Function)라고 해요.
즉, f(x) = x를 만족하는 함수입니다. 마치 거울에 비친 자기 모습을 보는 것과 같죠!
항등함수는 항상 일대일대응이 됩니다. (정의역의 서로 다른 원소는 당연히 자기 자신인 서로 다른 값에 대응되고, 치역도 정의역(이자 공역)과 같아지니까요.)
그래프의 특징: 항등함수 y=x의 그래프는 원점을 지나고 기울기가 1인 직선입니다.
\(\rightarrow\) c 상수함수: 모두 한 곳으로! (f(x)=c)
개념정리 187-4: 모든 입력이 하나의 출력으로!
함수 f: X \rightarrow Y에서, 정의역 X의 모든 원소 x에 대하여 그 함숫값 f(x)가 공역 Y의 단 하나의 특정한 원소 c로 일정할 때, 이 함수 f를 상수함수(Constant Function)라고 해요.
즉, f(x) = c (단, c는 상수)를 만족하는 함수입니다. 마치 모든 화살표가 공역의 한 점으로만 향하는 것과 같아요.
상수함수의 치역은 원소가 단 하나뿐인 집합 \{c\}가 됩니다.
그래프의 특징: 상수함수 y=c의 그래프는 x축에 평행한 (또는 y축에 수직인) 직선입니다.
정의역의 원소가 2개 이상이라면, 상수함수는 일대일함수가 될 수 없겠죠? (여러 x값이 하나의 y값에 대응되니까요!)
🧐 개념확인 문제: 함수의 종류 판별하기!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 함수가 어떤 종류의 함수인지 판별해 봅시다!
다음 각 함수의 그래프를 보고, 일대일함수, 일대일대응, 항등함수, 상수함수 중에서 해당하는 것을 모두 고르시오. (PDF Check 문제 그림 활용)
정답 및 해설: (단, 정의역과 공역은 실수 전체라고 가정)
- (1) 원점을 지나는 기울기 양수인 직선 (예: y=x, y=2x)
→ 가로선 테스트 통과 (일대일함수), 치역=공역(실수 전체)이므로 일대일대응입니다.
만약 y=x라면 항등함수이기도 합니다. - (2) 아래로 볼록한 포물선 (예: y=x^2)
→ 가로선과 두 점에서 만나는 경우가 있으므로 일대일함수가 아닙니다. (따라서 일대일대응도 아님)
항등함수, 상수함수도 아닙니다. - (3) x축에 평행한 직선 (예: y=2)
→ 정의역의 모든 x가 하나의 y값(2)에 대응되므로 상수함수입니다.
(정의역 원소가 2개 이상이면 일대일함수는 아님) - (4) 오른쪽 위로 향하는 S자 곡선 (계속 증가하는 모양)
→ 가로선 테스트 통과 (일대일함수), 치역=공역(실수 전체)으로 보인다면 일대일대응입니다.
각 함수의 정의와 그래프의 특징을 잘 연결해서 생각하는 것이 중요해요! 😉
오늘은 함수의 여러 종류 중에서도 특별한 성질을 갖는 일대일함수, 일대일대응, 항등함수, 그리고 상수함수에 대해 배웠습니다. 일대일함수는 함숫값이 겹치지 않고, 일대일대응은 거기에 더해 치역과 공역이 같은 경우였죠. 항등함수는 입력과 출력이 항상 같은 특별한 일대일대응이었고, 상수함수는 모든 입력에 대해 출력이 일정한 함수였습니다. 이 특별한 함수들의 정의와 특징을 잘 기억해두면 앞으로 더 복잡한 함수를 이해하는 데 큰 도움이 될 거예요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 여러 함수를 합쳐 새로운 함수를 만드는 ‘합성함수’에 대해 알아보겠습니다. 🧩