185 함수의 그래프: 정의역과 함숫값의 순서쌍을 좌표평면에! 📈
안녕하세요, 함수의 시각적 표현을 탐구하는 친구들! 👋 함수가 두 집합 사이의 특별한 대응 관계라는 것을 배웠죠? 이 대응 관계를 눈으로 직접 볼 수 있도록 좌표평면 위에 그림으로 나타낸 것이 바로 함수의 그래프랍니다! 오늘은 이 함수의 그래프가 정확히 무엇을 의미하는지, 그리고 정의역의 원소가 유한개일 때와 실수 전체일 때 그래프가 어떻게 다르게 표현되는지 함께 알아볼 거예요. 함수의 모습을 그림으로 만나볼 준비되셨나요? 🎨
📝 핵심만정리: 함수의 그래프, 이렇게 이해해요!
함수 f: X \rightarrow Y에 대하여,
- 함수의 그래프: 정의역 X의 각 원소 x와 그에 대응하는 함숫값 f(x)의 순서쌍 (x, f(x)) 전체의 집합을 함수 f의 그래프라고 해요.
기호로는 G = \{(x, y) | y = f(x), x \in X\} 와 같이 나타냅니다. - 그래프의 표현:
- 정의역 X가 유한집합이면, 함수의 그래프는 좌표평면 위에 유한개의 점으로 나타나요.
- 정의역 X가 실수 전체 또는 구간이면, 함수의 그래프는 좌표평면 위에 직선 또는 곡선으로 나타나는 경우가 많아요.
🤔 함수의 그래프란 무엇일까요? (순서쌍들의 모임!)
개념정리 185-1: (입력값, 출력값) 점들을 모아 그린 그림!
함수 f: X \rightarrow Y가 주어졌을 때, 우리는 정의역 X의 각 원소 x에 대하여 그에 대응하는 함숫값 f(x)를 생각할 수 있어요. 이 입력값 x와 출력값 f(x)를 짝지어 순서쌍 (x, f(x))를 만들 수 있죠.
함수의 그래프란, 바로 이 모든 순서쌍 (x, f(x))들을 원소로 하는 집합을 의미합니다.
즉, 함수 f의 그래프 G는 다음과 같이 표현할 수 있어요:
G = \{(x, f(x)) | x \in X\}
그리고 이 순서쌍들을 좌표평면 위에 점으로 찍어서 시각적으로 나타낸 것을 우리가 보통 “함수의 그래프”라고 부르는 것이랍니다.
🎨 그래프의 표현 방법: 정의역에 따라 달라져요!
개념정리 185-2: 점인가, 선인가?
함수의 그래프가 좌표평면 위에 어떻게 그려지는지는 정의역 X가 어떤 집합인지에 따라 달라져요.
1. 정의역 X가 유한집합일 때
만약 정의역 X의 원소가 유한개라면 (예: X = \{-1, 0, 1\}), 각 원소에 대한 함숫값을 구하여 만들어지는 순서쌍 (x, f(x))의 개수도 유한하겠죠? 따라서 이 경우 함수의 그래프는 좌표평면 위에 몇 개의 점으로 흩어져 나타납니다.
예시: 정의역 X = \{-1, 0, 1\}, 공역 Y는 실수 전체, 함수 f(x) = x+1일 때,
- f(-1) = -1+1 = 0 ⇒ 순서쌍 (-1, 0)
- f(0) = 0+1 = 1 ⇒ 순서쌍 (0, 1)
- f(1) = 1+1 = 2 ⇒ 순서쌍 (1, 2)
따라서 함수 f의 그래프는 집합 G = \{(-1,0), (0,1), (1,2)\}이고, 좌표평면 위에 세 개의 점으로 찍힙니다.
2. 정의역 X가 실수 전체 또는 구간일 때
만약 정의역 X가 실수 전체이거나 어떤 구간(예: 모든 실수, x \ge 0 등)이라면, 그에 해당하는 순서쌍 (x, f(x))는 무수히 많아져요. 이 무수히 많은 점들이 모여서 좌표평면 위에 직선 또는 곡선의 형태로 나타나게 됩니다.
예시: 정의역과 공역이 모두 실수 전체이고, 함수 f(x) = x+1일 때,
함수의 그래프는 직선 y = x+1로 나타납니다.
치역은 그래프의 y좌표들의 모임! 🏞️
함수의 그래프가 주어졌을 때, 그 그래프를 이루는 모든 점들의 y좌표들의 집합이 바로 그 함수의 치역이 됩니다.
🧐 개념확인 문제: 그래프 나타내기!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 함수의 그래프를 그려보고 치역을 구해봅시다! (그래프는 상상으로 그려봐도 좋아요!)
정의역이 X = \{-1, 0, 1, 2\}이고 공역이 실수 전체의 집합인 함수 f(x) = -x+1에 대하여 다음을 구하시오. (PDF Check 문제)
- 함수 f의 그래프
- 함수 f의 치역
정답 및 해설:
정의역의 각 원소에 대한 함숫값을 구합니다.
- f(-1) = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2
- f(0) = -(0) + 1 = 0 + 1 = 1
- f(1) = -(1) + 1 = -1 + 1 = 0
- f(2) = -(2) + 1 = -2 + 1 = -1
- 함수 f의 그래프:
순서쌍 (x, f(x)) 전체의 집합이므로,
G = \{(-1,2), (0,1), (1,0), (2,-1)\} 입니다.
(좌표평면 위에 이 네 개의 점을 찍으면 됩니다.) - 함수 f의 치역:
실제로 대응된 함숫값들의 집합이므로,
치역 = \{2, 1, 0, -1\} (또는 순서대로 {-1, 0, 1, 2}) 입니다.
정의역이 유한집합이면 그래프는 점으로, 정의역이 실수 전체나 구간이면 그래프는 선(직선 또는 곡선)으로 나타난다는 점을 기억하세요! 😉
오늘은 함수의 그래프가 정의역의 원소 x와 그 함숫값 f(x)의 순서쌍 (x,f(x)) 전체의 집합이라는 것을 배웠습니다. 그리고 이 순서쌍들을 좌표평면에 나타낸 것이 우리가 흔히 보는 함수의 ‘그림’이었죠! 정의역이 유한한지, 아니면 실수 전체나 구간인지에 따라 그래프의 모습이 점으로 또는 선으로 달라진다는 것도 알게 되었어요. 이 그래프의 개념은 앞으로 다양한 함수의 특징을 시각적으로 이해하는 데 매우 중요하게 사용될 거예요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 여러 가지 특별한 함수들(일대일함수, 항등함수, 상수함수 등)에 대해 알아보겠습니다. 🚀