184 함수의 뜻과 서로 같은 함수: 대응 관계와 세 가지 조건! 🤝
안녕하세요, 수학의 관계를 탐구하는 친구들! 👋 드디어 새로운 단원, ‘함수’의 세계에 발을 들여놓게 되었어요! 함수는 수학의 여러 분야에서 매우 중요하게 사용되는 핵심 개념이랍니다. 오늘은 그 첫 시간으로, 수학에서 말하는 함수(Function)가 정확히 무엇을 의미하는지, 그리고 함수와 관련된 중요한 용어들(정의역, 공역, 치역)은 무엇인지 알아볼 거예요. 또한, 두 함수가 “서로 같다“고 말하려면 어떤 조건들을 만족해야 하는지도 함께 살펴볼 거랍니다! 마치 새로운 친구를 사귀듯, 함수의 기본 프로필부터 차근차근 알아봅시다! 😊
📝 핵심만정리: 함수와 서로 같은 함수의 조건!
- 함수 (Function):
- 공집합이 아닌 두 집합 X, Y에 대하여, 집합 X의 각 원소에 집합 Y의 원소가 오직 하나씩 대응될 때, 이 대응을 X에서 Y로의 함수라고 해요.
- 기호로는 f: X \rightarrow Y와 같이 나타내고, x \in X에 대응하는 y \in Y를 y = f(x)로 표현해요.
- 함수 관련 용어:
- 정의역 (Domain): 함수 f: X \rightarrow Y에서 집합 X (화살표를 보내는 쪽).
- 공역 (Codomain): 함수 f: X \rightarrow Y에서 집합 Y (화살표를 받을 수 있는 후보 전체).
- 치역 (Range 또는 Image): 정의역 X의 원소에 실제로 대응된 공역 Y의 원소들의 집합. 즉, 함숫값 전체의 집합 {f(x) | x \in X}. (치역 \subset 공역)
- 서로 같은 함수 (Equal Functions):
두 함수 f와 g가 서로 같기 위한 조건은 다음 세 가지를 모두 만족해야 해요.- 정의역이 서로 같다.
- 공역이 서로 같다.
- 정의역의 모든 원소 x에 대하여 함숫값이 서로 같다 (f(x) = g(x)).
🤔 함수란 무엇일까요? (특별한 대응 관계!)
개념정리 184-1: 하나씩, 빠짐없이 짝짓기!
수학에서 함수는 두 집합 X와 Y 사이의 특별한 대응 관계를 의미해요. 어떤 대응이 함수가 되려면 다음 두 가지 조건을 반드시 만족해야 합니다.
- 집합 X의 모든 원소는 집합 Y의 원소에 반드시 대응되어야 한다. (X에서 출발하지 않는 화살표가 있으면 안 돼요!)
- 집합 X의 각 원소는 집합 Y의 원소에 오직 하나씩만 대응되어야 한다. (X의 한 원소에서 화살표가 두 개 이상 나가면 안 돼요!)
이러한 대응 관계 f를 “X에서 Y로의 함수”라고 하고, 기호로는 f: X \rightarrow Y와 같이 나타냅니다. 그리고 집합 X의 원소 x에 대응하는 집합 Y의 원소 y를 “x의 함숫값” 또는 “f에 의한 x의 상”이라고 하며, y = f(x)로 표현합니다.
함수인 것 vs 함수가 아닌 것 (화살표 다이어그램 예시):
🎯 정의역, 공역, 치역: 함수의 활동 무대!
개념정리 184-2: 입력, 후보, 실제 출력!
함수 f: X \rightarrow Y와 관련하여 다음과 같은 중요한 용어들이 있어요.
- 정의역 (Domain): 함수에 ‘입력’될 수 있는 모든 값들의 집합. 함수 f: X \rightarrow Y에서는 집합 X가 정의역이 됩니다. (화살표를 쏘는 쪽)
- 공역 (Codomain): 함숫값들이 속할 수 있는 ‘후보’들의 전체 집합. 함수 f: X \rightarrow Y에서는 집합 Y가 공역이 됩니다. (화살표를 받을 수 있는 쪽)
- 치역 (Range 또는 Image): 정의역의 모든 원소 x에 대하여 실제로 대응된 함숫값 f(x)들의 집합. 즉, {f(x) | x \in X} 입니다. (공역 Y의 부분집합이 됩니다: 치역 \subset 공역)
정의역이나 공역이 특별히 주어지지 않은 경우, 보통 실수 전체의 집합에서 함수가 정의될 수 있는 최대한의 범위를 생각합니다.
＝ 서로 같은 함수: 세 가지 조건을 만족해야!
개념정리 184-3: 정의역, 공역, 함숫값 모두 일치!
두 함수 f와 g가 “서로 같다“고 말하려면 (f=g), 겉모습(함수식)이 같다고 해서 무조건 같은 함수가 아니에요! 다음 세 가지 조건을 모두 만족해야 합니다.
- 두 함수의 정의역이 서로 같다.
- 두 함수의 공역이 서로 같다.
- 정의역의 모든 원소 x에 대하여 함숫값이 서로 같다 (즉, f(x) = g(x)이다).
이 세 가지 조건 중 어느 하나라도 만족하지 않으면 두 함수는 서로 다른 함수가 됩니다.
예시:
두 함수 f(x) = |x|와 g(x) = x가 정의역 X = {-1, 0, 1}에서 정의되고 공역이 실수 전체일 때, 두 함수는 서로 같은 함수일까요?
- f(-1) = |-1| = 1, g(-1) = -1 ⇒ f(-1) \ne g(-1)
- f(0) = |0| = 0, g(0) = 0 ⇒ f(0) = g(0)
- f(1) = |1| = 1, g(1) = 1 ⇒ f(1) = g(1)
x=-1에서 함숫값이 다르므로, 두 함수 f와 g는 서로 같은 함수가 아닙니다.
만약 정의역이 X = {0, 1}이었다면, f(0)=g(0)이고 f(1)=g(1)이므로 서로 같은 함수가 됩니다!
🧐 개념확인 문제: 같은 함수인지 판별하기!
이제 배운 내용을 바탕으로 두 함수가 서로 같은 함수인지 판별해 봅시다!
다음 두 함수 f, g가 서로 같은 함수인지 판별하시오. (PDF Check 문제)
1. f(x) = 1, g(x) = x/x (단, 정의역은 x \ne 0인 모든 실수, 공역은 실수)
2. f(x) = x2 – 1, g(x) = (x-1)(x+1) (단, 정의역과 공역은 실수 전체)
정답 및 해설:
-
함수 f(x) = 1의 정의역은 x \ne 0인 모든 실수.
함수 g(x) = x/x는 x \ne 0일 때 g(x)=1로 정의됩니다. x=0에서는 정의되지 않으므로, g(x)의 정의역도 x \ne 0인 모든 실수입니다.
정의역과 공역이 같고, 정의역의 모든 x에 대하여 f(x)=1, g(x)=1로 함숫값이 같습니다.
따라서 두 함수는 서로 같은 함수입니다.
-
함수 f(x) = x2 – 1.
함수 g(x) = (x-1)(x+1)을 전개하면 g(x) = x2 – 1 입니다.
두 함수의 정의역과 공역이 실수 전체로 같고, 모든 실수 x에 대하여 f(x)=g(x)이므로 두 함수는 서로 같은 함수입니다.
두 함수가 같은지 판단할 때는 함수식의 모양뿐만 아니라 정의역과 공역, 그리고 모든 정의역의 원소에 대한 함숫값이 같은지 꼼꼼히 확인해야 해요! 😉
오늘은 수학의 중요한 개념인 ‘함수’의 정확한 뜻과 관련 용어(정의역, 공역, 치역), 그리고 두 함수가 서로 같기 위한 세 가지 조건에 대해 배웠습니다. 함수는 X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩 대응되는 특별한 관계라는 점, 그리고 두 함수가 같으려면 정의역, 공역, 함숫값이 모두 일치해야 한다는 점을 기억해주세요! 이 함수의 기본 개념은 앞으로 배울 다양한 종류의 함수들을 이해하는 데 튼튼한 기초가 될 거예요. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 함수의 그래프가 무엇을 의미하는지 알아보겠습니다. 📈