쎈공수1-0053번: 다항식 연속 곱셈의 계수 구하기 | 쎈 공통수학1

쎈 공통수학1 | 다항식의 연산

쎈공수1-0053번: 다항식 연속 곱셈에서 최고차항 계수 구하기

곱셈 공식과 패턴을 이용한 효율적인 다항식 전개

            이 포스트의 특징

            ✓ 출판사 제공 해설 이미지 제공

            ✓ 곱셈 공식을 이용한 효율적 계산법

            ✓ 추천 해설 영상 링크

            ✓ 패턴 인식을 통한 빠른 풀이

            ✓ 자주 틀리는 포인트와 실수 방지 꿀팁

            ✓ 단계별 풀이로 완벽 이해

📝 문제 내용 요약

[문제 0053]

여러 개의 다항식을 연속으로 곱한 결과에서 특정 차수의 계수를 구하는 문제입니다.

주어진 식:

x⁸ = 30일 때, (x-1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)의 값은?

구하는 것: 주어진 식의 값

문제의 특징:

직접 전개하면 매우 복잡한 계산
곱셈 공식 패턴을 이용하면 간단히 해결
x⁸=30이라는 조건 활용 필요

🎯 풀이에 필요한 핵심 개념

1. 곱셈 공식: 합차 공식

가장 기본적인 곱셈 공식:

(a-b)(a+b) = a² – b²

이 공식을 반복적으로 적용하면 복잡한 식을 간단히 만들 수 있습니다.

2. 패턴 인식

(x-1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)의 구조를 보면:

(x-1)(x+1) = x²-1
(x²-1)(x²+1) = x⁴-1
(x⁴-1)(x⁴+1) = x⁸-1

이런 식으로 단계적으로 간단해집니다!

3. 조건 대입

x⁸=30이 주어졌으므로:

x⁸ – 1 = 30 – 1 = 29

핵심 힌트
(x-1)(x+1)부터 차례대로 계산하면 패턴이 보입니다!
각 단계에서 합차 공식을 적용하세요.

📖 단계별 풀이 과정

1 첫 번째 단계: (x-1)(x+1) 계산

합차 공식을 적용합니다:

(x-1)(x+1) = x² – 1²
= x² – 1

2 두 번째 단계: (x²-1)(x²+1) 계산

1단계 결과에 (x²+1)을 곱합니다:

(x²-1)(x²+1) = (x²)² – 1²
= x⁴ – 1

3 세 번째 단계: (x⁴-1)(x⁴+1) 계산

2단계 결과에 (x⁴+1)을 곱합니다:

(x⁴-1)(x⁴+1) = (x⁴)² – 1²
= x⁸ – 1

4 조건 대입하기

x⁸ = 30이 주어졌으므로:

x⁸ – 1 = 30 – 1 = 29

정답: 29

💡 SSEN 특강: 패턴의 아름다움

일반화된 패턴

이 문제의 패턴은 다음과 같이 일반화됩니다:

(x-1)(x+1) = x² – 1
(x-1)(x+1)(x²+1) = x⁴ – 1
(x-1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1) = x⁸ – 1
(x-1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)(x⁸+1) = x¹⁶ – 1
⋮

n번 반복하면 x^(2ⁿ) – 1이 됩니다!

왜 이런 패턴이 나올까?

합차 공식의 반복 적용:

(a-b)(a+b) = a²-b² 형태가 계속 반복
매번 지수가 2배씩 증가
최종적으로 항상 “어떤 수 – 1” 형태

실전 활용 팁
이런 패턴 문제를 보면:
1. 합차 공식을 떠올리기
2. 단계별로 간단히 만들기
3. 최종 형태 예측하기
4. 조건 대입하기

🎬 추천 해설 영상

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📸 상세 해설 이미지

▲ 문제 0053번 상세 풀이 이미지

⚠️ 자주 틀리는 포인트

실수 1: 직접 전개 시도
• 모든 괄호를 전개하려고 하면 매우 복잡
• 4개 괄호 전개는 16개 항 발생

해결법: 패턴을 찾아 단계적으로 간단히 만드세요!

실수 2: 합차 공식 잘못 적용
• 잘못: (x-1)(x+1) = x² + 1
• 정답: (x-1)(x+1) = x² – 1

해결법: (a-b)(a+b) = a² – b²를 정확히 기억하세요!

실수 3: 단계 건너뛰기
• (x-1)(x+1)(x²+1)을 한 번에 계산 시도
• 중간 과정 없이 바로 답 구하려 함

해결법: 차근차근 단계별로 계산하세요!

실수 4: 조건 대입 누락
• x⁸-1까지 구하고 x⁸=30 대입을 잊음
• 답을 x⁸-1로 제출

해결법: 문제에서 주어진 조건을 꼭 확인하세요!

실수 5: 계산 실수
• 30 – 1 = 31로 계산
• 음수 처리 실수

해결법: 간단한 계산도 검산하세요!

💡 실수를 줄이는 꿀팁

꿀팁 1: 패턴 기억법
(x-1)(x+1) → x²-1
×(x²+1) → x⁴-1
×(x⁴+1) → x⁸-1

“지수가 2배씩 커지고 항상 -1″로 기억!

꿀팁 2: 단계별 점검
각 단계마다 체크:
□ 합차 공식 맞게 적용했는가?
□ 지수 계산이 정확한가?
□ 부호가 맞는가?

단계별 확인으로 실수 방지!

꿀팁 3: 작은 수로 검산
x=2일 때 검산해보기:
• 좌변: (2-1)(2+1)(4+1)(16+1) = 1×3×5×17 = 255
• 우변: 2⁸-1 = 256-1 = 255 ✓

패턴이 맞는지 확인!

꿀팁 4: 일반화 연습
비슷한 패턴 연습:
• (x-1)(x+1)(x²+1) = ?
• (x-2)(x+2)(x²+4) = ?

다양한 변형 연습으로 실력 향상!

꿀팁 5: 조건 활용 체크리스트
문제 풀이 후:
□ 주어진 조건을 모두 사용했는가?
□ x⁸=30을 대입했는가?
□ 최종 답이 숫자인가?

체크리스트로 완성도 확인!

꿀팁 6: 시간 절약 전략
이런 패턴을 보면:
1. 합차 공식임을 즉시 파악 (5초)
2. 최종 형태 예측 (x⁸-1) (10초)
3. 조건 대입 (5초)

총 20초만에 풀이 완성!

🎓 관련 개념 및 유사 문제

유사 문제 유형

(x-1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)(x⁸+1)의 전개
(2x-1)(2x+1)(4x²+1)의 계산
특정 조건에서 다항식 값 구하기
등비급수와 다항식의 관계

심화 학습 주제

무한급수: 1+x+x²+x³+⋯ = 1/(1-x)
이진법: 2ⁿ-1의 의미
기하급수: 등비수열과의 연결
복소수: x²ⁿ+1의 인수분해

연습 문제

문제 1: (x-1)(x+1)(x²+1)을 간단히 하시오.

문제 2: (2-1)(2+1)(4+1)(16+1)의 값은?

문제 3: x¹⁶=100일 때, (x-1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)(x⁸+1)의 값은?

📚 추가 학습 자료

더 공부하면 좋을 내용

기본: 곱셈 공식 완벽 암기
중급: 패턴 인식과 일반화
고급: 무한급수와 극한
심화: 복소수 영역에서의 인수분해

실생활 응용

컴퓨터 과학 (이진법 계산)
신호 처리 (푸리에 변환)
암호학 (RSA 암호)
물리학 (파동 간섭)

쎈 공통수학1 문제별 풀이

문제 0053번 | 다항식의 연산 – 연속 곱셈의 패턴

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