쎈 공통수학1 | 다항식의 연산
쎈공수1-0052번: 곱셈 공식 적용의 정확성 검증하기
삼차 곱셈 공식 (a-b)³의 올바른 전개 판단 문제
이 포스트의 특징
✓ 출판사 제공 해설 이미지 제공
✓ 곱셈 공식 완벽 정리
✓ 추천 해설 영상 링크
✓ 실수하기 쉬운 부호와 계수 집중 분석
✓ 자주 틀리는 포인트와 실수 방지 꿀팁
✓ 단계별 풀이로 완벽 이해
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📝 문제 내용 요약
[문제 0052]
주어진 식이 올바르게 전개되었는지 판단하는 문제입니다.
주어진 식:
(x – 3y)³ = x³ – 9x²y + 27xy² – 27y³
구하는 것: 위 등식이 참인지 거짓인지 판단
문제의 특징:
- 곱셈 공식 (a-b)³의 정확한 이해 필요
- 각 항의 부호와 계수를 꼼꼼히 확인해야 함
- 실수하기 쉬운 선택지 문제
🎯 풀이에 필요한 핵심 개념
1. 삼차 곱셈 공식
가장 기본이 되는 두 가지 공식:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
핵심 포인트:
- 계수는 1, 3, 3, 1 (이항계수)
- (a-b)³에서 부호는 +, -, +, – 교대로 변함
- 지수는 a는 감소, b는 증가
2. 공식 유도 (이해하기)
(a-b)³를 직접 전개하면:
(a-b)³ = (a-b)(a-b)(a-b)
= (a-b)(a²-2ab+b²)
= a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³
= a³ – 3a²b + 3ab² – b³
= (a-b)(a²-2ab+b²)
= a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³
= a³ – 3a²b + 3ab² – b³
3. 이항정리와의 관계
(a-b)³의 계수는 이항계수로 설명됩니다:
₃C₀a³ – ₃C₁a²b + ₃C₂ab² – ₃C₃b³
= 1·a³ – 3·a²b + 3·ab² – 1·b³
= 1·a³ – 3·a²b + 3·ab² – 1·b³
핵심 힌트
문제의 식과 정확한 공식을 항별로 비교하세요!
특히 계수와 부호를 주의 깊게 확인해야 합니다.
문제의 식과 정확한 공식을 항별로 비교하세요!
특히 계수와 부호를 주의 깊게 확인해야 합니다.
📖 단계별 풀이 과정
1
곱셈 공식 적용하기
(x – 3y)³에 공식 (a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³를 적용합니다.
여기서 a = x, b = 3y입니다.
(x – 3y)³ = x³ – 3·x²·(3y) + 3·x·(3y)² – (3y)³
2
각 항 계산하기
첫 번째 항:
a³ = x³
두 번째 항:
-3a²b = -3·x²·(3y) = -9x²y
세 번째 항:
3ab² = 3·x·(3y)² = 3·x·9y² = 27xy²
네 번째 항:
-b³ = -(3y)³ = -27y³
3
전개식 완성하기
모든 항을 합치면:
(x – 3y)³ = x³ – 9x²y + 27xy² – 27y³
4
문제의 식과 비교하기
문제에서 주어진 식:
(x – 3y)³ = x³ – 9x²y + 27xy² – 27y³
정확한 전개식:
(x – 3y)³ = x³ – 9x²y + 27xy² – 27y³
비교 결과:
| 항 | 문제의 계수 | 정확한 계수 | 일치 여부 |
|---|---|---|---|
| x³ | 1 | 1 | ✓ |
| x²y | -9 | -9 | ✓ |
| xy² | 27 | 27 | ✓ |
| y³ | -27 | -27 | ✓ |
정답: 주어진 식은 올바릅니다 (정답: ③)
주의!
답지 이미지를 확인하면 실제 답은 ③번입니다.
문제에서 “옳지 않은 것”을 고르는 것이므로, 다른 선택지들을 확인해야 합니다.
답지 이미지를 확인하면 실제 답은 ③번입니다.
문제에서 “옳지 않은 것”을 고르는 것이므로, 다른 선택지들을 확인해야 합니다.
💡 SSEN 특강: 곱셈 공식 완벽 정리
기본 곱셈 공식 (암기 필수)
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b)(a – b) = a² – b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b)(a – b) = a² – b²
삼차 곱셈 공식
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
암기 팁: 계수는 1-3-3-1, 부호는 교대로!
합과 차의 세제곱
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
공식 활용 전략
1. a와 b가 무엇인지 명확히 파악
2. 공식에 대입할 때 괄호 사용
3. 각 항을 차례대로 계산
4. 최종 답 검산
1. a와 b가 무엇인지 명확히 파악
2. 공식에 대입할 때 괄호 사용
3. 각 항을 차례대로 계산
4. 최종 답 검산
🎬 추천 해설 영상
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📸 상세 해설 이미지
▲ 문제 0052번 상세 풀이 이미지
⚠️ 자주 틀리는 포인트
실수 1: 계수 3을 빼먹음
• 잘못: (a-b)³ = a³ – a²b + ab² – b³
• 정답: (a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
해결법: 1-3-3-1 계수를 항상 기억하세요!
• 잘못: (a-b)³ = a³ – a²b + ab² – b³
• 정답: (a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
해결법: 1-3-3-1 계수를 항상 기억하세요!
실수 2: 부호 순서 착각
• 잘못: (a-b)³ = a³ + 3a²b – 3ab² + b³
• 정답: (a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
해결법: +, -, +, – 교대로 변한다고 기억하세요!
• 잘못: (a-b)³ = a³ + 3a²b – 3ab² + b³
• 정답: (a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
해결법: +, -, +, – 교대로 변한다고 기억하세요!
실수 3: b의 계수 처리 오류
• b = 3y일 때
• b² = (3y)² = 9y² (맞음)
• b² = 3y² (틀림!)
해결법: 괄호를 명확히 써서 계산하세요!
• b = 3y일 때
• b² = (3y)² = 9y² (맞음)
• b² = 3y² (틀림!)
해결법: 괄호를 명확히 써서 계산하세요!
실수 4: 중간 계산 실수
• 3·x·(3y)² = 3·x·9y² = 27xy²
• 27을 9로 착각하는 경우 많음
해결법: 단계별로 천천히 계산하세요!
• 3·x·(3y)² = 3·x·9y² = 27xy²
• 27을 9로 착각하는 경우 많음
해결법: 단계별로 천천히 계산하세요!
실수 5: “옳지 않은 것” 문제 착각
• 문제가 “옳은 것”인지 “옳지 않은 것”인지 확인
• 올바른 식을 찾았더라도 문제를 다시 읽어야 함
해결법: 문제 유형에 밑줄을 그으세요!
• 문제가 “옳은 것”인지 “옳지 않은 것”인지 확인
• 올바른 식을 찾았더라도 문제를 다시 읽어야 함
해결법: 문제 유형에 밑줄을 그으세요!
💡 실수를 줄이는 꿀팁
꿀팁 1: 공식 암기 방법
(a-b)³를 기억하는 쉬운 방법:
• “일삼삼일” (계수: 1, 3, 3, 1)
• “플마플마” (부호: +, -, +, -)
• “큰작 작큰” (a는 큰→작, b는 작→큰)
이렇게 외우면 절대 안 까먹습니다!
(a-b)³를 기억하는 쉬운 방법:
• “일삼삼일” (계수: 1, 3, 3, 1)
• “플마플마” (부호: +, -, +, -)
• “큰작 작큰” (a는 큰→작, b는 작→큰)
이렇게 외우면 절대 안 까먹습니다!
꿀팁 2: 파스칼의 삼각형 활용
n제곱의 계수는 파스칼의 삼각형에서 찾을 수 있습니다:
n제곱의 계수는 파스칼의 삼각형에서 찾을 수 있습니다:
n=0: 1
n=1: 1 1
n=2: 1 2 1
n=3: 1 3 3 1 ← (a±b)³의 계수
n=4: 1 4 6 4 1
n=1: 1 1
n=2: 1 2 1
n=3: 1 3 3 1 ← (a±b)³의 계수
n=4: 1 4 6 4 1
꿀팁 3: 특수한 값 대입으로 검산
x=1, y=1을 대입해서 확인:
• 좌변: (1-3)³ = (-2)³ = -8
• 우변: 1 – 9 + 27 – 27 = -8
• 일치! ✓
간단한 값으로 빠른 검산 가능!
x=1, y=1을 대입해서 확인:
• 좌변: (1-3)³ = (-2)³ = -8
• 우변: 1 – 9 + 27 – 27 = -8
• 일치! ✓
간단한 값으로 빠른 검산 가능!
꿀팁 4: 항별 체크리스트
각 항을 확인할 때:
□ 계수가 맞는가?
□ 부호가 맞는가?
□ x의 지수가 맞는가?
□ y의 지수가 맞는가?
체크리스트로 빠짐없이 확인!
각 항을 확인할 때:
□ 계수가 맞는가?
□ 부호가 맞는가?
□ x의 지수가 맞는가?
□ y의 지수가 맞는가?
체크리스트로 빠짐없이 확인!
꿀팁 5: 자주 나오는 패턴
시험에 자주 나오는 형태:
• (x – 2y)³
• (2x – y)³
• (x – 3)³
이런 패턴들을 미리 연습해두세요!
시험에 자주 나오는 형태:
• (x – 2y)³
• (2x – y)³
• (x – 3)³
이런 패턴들을 미리 연습해두세요!
꿀팁 6: 시간 절약 테크닉
선택지 문제에서는:
1. 가장 의심스러운 항 먼저 확인
2. 계수가 복잡한 항부터 체크
3. 명백히 틀린 선택지는 즉시 제거
효율적인 풀이로 시간 절약!
선택지 문제에서는:
1. 가장 의심스러운 항 먼저 확인
2. 계수가 복잡한 항부터 체크
3. 명백히 틀린 선택지는 즉시 제거
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🎓 관련 개념 및 유사 문제
관련 개념
- 곱셈 공식 (이차, 삼차)
- 이항정리와 이항계수
- 파스칼의 삼각형
- 다항식의 전개
- 인수분해 (역과정)
유사 문제 유형
- (2x + y)³의 전개식
- (x – 2)³의 전개식
- a³ + b³, a³ – b³의 인수분해
- 전개식에서 특정 항의 계수 구하기
심화 학습 주제
- 이항정리: (a+b)ⁿ의 일반 전개
- 다항정리: (a+b+c)ⁿ의 전개
- 조합론: 이항계수의 성질
- 사차 이상: (a±b)⁴, (a±b)⁵ 등
연습 문제
문제 1: (2x – y)³를 전개하시오.
문제 2: (x + 3y)³의 전개식에서 x²y의 계수는?
문제 3: x³ – 8y³를 인수분해하시오.
📚 추가 학습 자료
더 공부하면 좋을 내용
- 기본: 이차 곱셈 공식 완벽 암기
- 중급: 삼차 곱셈 공식과 인수분해
- 고급: 이항정리와 조합
- 심화: 다항정리와 고차 전개
실생활 응용
- 부피 계산 (세제곱 형태)
- 물리학 (가속도와 거리)
- 경제학 (복리 계산)
- 공학 (다항식 근사)
쎈 공통수학1 문제별 풀이
문제 0052번 | 다항식의 연산 – 곱셈 공식 검증
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문제의 저작권은 해당 출판사에 있습니다.
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