쎈공수1-0051번: 연속하는 일차식의 곱에서 계수 구하기
10개의 일차식을 곱한 다항식 전개에서 특정 항의 계수 찾기
✓ 출판사 제공 해설 이미지 제공
✓ 근과 계수의 관계 심화 설명
✓ 추천 해설 영상 링크
✓ 조합론적 접근법 상세 해설
✓ 자주 틀리는 포인트와 실수 방지 꿀팁
✓ 단계별 풀이로 완벽 이해
📝 문제 내용 요약
[문제 0051]
10개의 연속하는 일차식을 곱한 다항식에서 특정 차수의 계수를 구하는 문제입니다.
주어진 식:
구하는 것: 전개식에서 x⁹의 계수
문제의 특징:
- 10개의 일차식을 모두 곱하면 10차 다항식이 됨
- 직접 전개는 매우 복잡 (2¹⁰ = 1,024개 항 발생)
- 근과 계수의 관계를 역으로 활용하는 창의적 접근 필요
🎯 풀이에 필요한 핵심 개념
1. 다항식의 전개 형태 파악
10개의 일차식을 곱하면:
여기서 우리가 구할 것은 x⁹의 계수 a입니다.
2. 근과 계수의 관계 (역활용)
만약 다항식 xⁿ + c₁xⁿ⁻¹ + c₂xⁿ⁻² + ⋯의 근이 α₁, α₂, …, αₙ이라면:
우리 문제에서는 반대로:
- (x+1)(x+2)⋯(x+10) = 0의 근은 -1, -2, -3, …, -10
- 따라서 x⁹의 계수는 이 근들의 합과 관련
3. x⁹ 항이 만들어지는 원리
10개의 괄호에서 9개는 x를 선택하고, 1개는 상수를 선택:
예를 들어:
- 첫 번째 괄호에서만 1 선택: 1·x⁹
- 두 번째 괄호에서만 2 선택: 2·x⁹
- ⋮
- 열 번째 괄호에서만 10 선택: 10·x⁹
x⁹ 항은 10개 괄호 중 9개에서 x를, 1개에서 상수를 선택할 때 생깁니다!
• (1)·x·x·x·x·x·x·x·x·x = 1x⁹
• x·(2)·x·x·x·x·x·x·x·x = 2x⁹
• ⋮
• x·x·x·x·x·x·x·x·x·(10) = 10x⁹
따라서 계수는 1+2+3+⋯+10입니다!
📖 단계별 풀이 과정
10개의 일차식을 곱하면 10차 다항식이 됩니다:
x¹⁰의 계수는 1입니다 (모든 괄호에서 x만 선택).
x⁹을 만들려면 10개 괄호 중 9개에서 x를, 1개에서 상수를 선택해야 합니다.
가능한 경우들:
| 경우 | 상수 선택 | 기여하는 항 |
|---|---|---|
| 1 | (x+1)에서 1 | 1·x⁹ |
| 2 | (x+2)에서 2 | 2·x⁹ |
| 3 | (x+3)에서 3 | 3·x⁹ |
| ⋮ | ⋮ | ⋮ |
| 10 | (x+10)에서 10 | 10·x⁹ |
모든 경우를 합하면:
이것은 1부터 10까지의 자연수의 합입니다!
1부터 n까지의 자연수의 합 공식:
n = 10을 대입하면:
방정식 (x+1)(x+2)⋯(x+10) = 0의 근은:
x = -1, -2, -3, …, -10
근과 계수의 관계에서 x⁹의 계수는:
= -(-55) = 55
두 방법의 답이 일치합니다! ✓
💡 SSEN 특강: 다양한 접근법
방법 1: 조합론적 접근 (기본)
x⁹을 만드는 모든 경우를 직접 나열하여 합산
- 장점: 직관적이고 이해하기 쉬움
- 단점: 괄호가 많으면 시간 소요
- 적용: 괄호 개수가 적을 때 (≤ 5개)
방법 2: 등차수열 합 공식 (효율적)
패턴을 파악하여 공식 적용
- 장점: 빠르고 정확함
- 단점: 패턴 인식 능력 필요
- 적용: 연속된 수의 경우
방법 3: 근과 계수의 관계 (심화)
다항식 이론을 역으로 활용
- 장점: 고차 다항식에도 적용 가능
- 단점: 개념 이해가 필요함
- 적용: 대학 입시, 심화 문제
시험에서는 방법 2(등차수열 합)가 가장 빠릅니다!
1 + 2 + ⋯ + n = n(n+1)/2 공식을 암기하세요.
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⚠️ 자주 틀리는 포인트
• x¹⁰의 계수: 1 (모든 괄호에서 x 선택)
• x⁹의 계수: 55 (9개는 x, 1개는 상수)
해결법: 문제에서 구하는 차수를 정확히 확인하세요.
• 잘못: n(n-1)/2 또는 n²/2
• 정확: n(n+1)/2
해결법: 1+2+3을 대입해서 공식 검증하세요.
(1+2+3 = 6, 3×4/2 = 6 ✓)
• (x+1)에서 상수는 1
• (x+2)에서 상수는 2
• (x+k)에서 상수는 k
해결법: 각 괄호의 상수항을 명확히 파악하세요.
• 10개 괄호 중 정확히 1개만 상수 선택
• 10가지 경우가 모두 있어야 함
해결법: 체계적으로 1번~10번 괄호를 순서대로 확인하세요.
• 근의 합: (-1)+(-2)+⋯+(-10) = -55
• x⁹의 계수: -(근의 합) = -(-55) = +55
해결법: 부호를 두 번 확인하세요!
💡 실수를 줄이는 꿀팁
(x+1)(x+2)의 x¹의 계수를 구해보세요:
• 전개: x² + 3x + 2
• x¹의 계수: 3
• 공식: 1+2 = 3 ✓
작은 예제로 확인하면 실수가 줄어듭니다!
“처음과 끝을 더해서 개수만큼 곱하고 2로 나눈다”
• 1부터 10까지: (1+10)×10÷2 = 55
• 1부터 n까지: (1+n)×n÷2 = n(n+1)/2
이렇게 기억하면 헷갈리지 않습니다!
1+2+⋯+10을 다르게 계산하는 방법:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
= 11 + 11 + 11 + 11 + 11
= 11 × 5 = 55
대칭적으로 짝을 지으면 계산이 쉽습니다!
두 가지 방법으로 계산해서 비교:
1. 직접 덧셈: 1+2+3+⋯+10
2. 공식 사용: 10×11/2
결과가 같으면 정답입니다!
(x+1)(x+2)⋯(x+n)에서 xⁿ⁻¹의 계수는?
→ 답: 1+2+⋯+n = n(n+1)/2
패턴을 이해하면 응용 문제도 쉽게 풀립니다!
큰 수의 경우 계산기를 사용해도 됩니다:
• 10×11 = 110
• 110÷2 = 55
정확성이 최우선입니다!
🎓 관련 개념 및 유사 문제
관련 개념
- 다항식의 곱셈과 전개
- 근과 계수의 관계
- 등차수열의 합
- 조합론과 경우의 수
- 대칭식과 기본대칭식
유사 문제 유형
- (x-1)(x-2)⋯(x-n)의 계수 구하기
- (2x+1)(2x+2)⋯의 계수 구하기
- 다른 차수 항의 계수 구하기 (x⁸, x⁷ 등)
- 일반화된 n개 일차식의 곱
심화 학습 주제
- 근과 계수: 고차 다항식의 근과 계수 관계
- 대칭식: 기본대칭식과 일반대칭식
- 생성함수: 다항식과 수열의 관계
- 조합론: 이항계수와 다항계수
📚 추가 학습 자료
더 공부하면 좋을 내용
- 기본: 등차수열의 합 공식
- 중급: 근과 계수의 관계 (2차, 3차)
- 고급: 고차 다항식의 근과 계수
- 심화: 기본대칭식과 대칭식 정리
실생활 응용
- 확률 분포 (다항분포)
- 신호 처리 (다항식 필터)
- 암호학 (다항식 연산)
- 최적화 문제 (다항식 근 찾기)
연습 문제
문제 1: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)에서 x⁴의 계수는?
문제 2: (x-1)(x-2)(x-3)⋯(x-8)에서 x⁷의 계수는?
문제 3: (2x+1)(2x+2)⋯(2x+6)에서 x⁵의 계수는?
쎈 공통수학1 문제별 풀이
문제 0051번 | 다항식의 연산 – 연속하는 일차식의 곱
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