쎈공수1-0049번: 다항식 전개에서 계수 비교로 미지수 찾기
다항식의 전개 공식을 이용한 계수 비교 문제 | 연립방정식 활용
✓ 상세한 해설 이미지 제공
✓ 전개 공식과 계수 비교 방법 상세 설명
✓ 추천 해설 영상 링크
✓ 자주 틀리는 포인트와 실수 방지 꿀팁
✓ 단계별 풀이로 완벽 이해
📝 문제 내용 요약
[문제 0049]
다항식의 곱셈 전개에서 특정 항의 계수를 이용하여 미지수를 구하는 문제입니다.
주어진 조건:
다항식 (x + a)(3x² + bx – 5)의 전개식에서
- x³항의 계수가 10
- x항의 계수가 -13
구하는 것: ab의 값
🎯 풀이에 필요한 핵심 개념
1. 다항식의 곱셈 전개
두 다항식을 곱할 때는 분배법칙을 사용합니다.
각 항을 모든 항과 곱한 후 동류항을 정리합니다.
2. 계수 비교 방법
전개된 다항식에서 같은 차수의 항끼리 비교하여 미지수를 구합니다.
- x³항의 계수 = x³항을 만드는 모든 경우의 계수 합
- x²항의 계수 = x²항을 만드는 모든 경우의 계수 합
- x¹항의 계수 = x¹항을 만드는 모든 경우의 계수 합
3. 필수 공식
= Ax³ + (B + aA)x² + (C + aB)x + aC
각 차수의 항이 어떻게 만들어지는지 생각해보세요!
• x³항: x × 3x² = 3x³
• x항: x × (-5) + a × bx
이렇게 각 항의 계수를 식으로 세우면 연립방정식을 만들 수 있습니다.
📖 단계별 풀이 과정
주어진 식 (x + a)(3x² + bx – 5)를 전개합니다.
= x(3x² + bx – 5) + a(3x² + bx – 5)
= 3x³ + bx² – 5x + 3ax² + abx – 5a
= 3x³ + (b + 3a)x² + (ab – 5)x – 5a
x³항의 계수가 10이라고 주어졌습니다.
실제로 문제를 확인하면 x³항의 계수는 3이 나옵니다.
문제에서 “x³항의 계수가 10″이라는 조건은 다항식 (x+a)(3x²+bx-5)가 아닌 다른 형태일 가능성이 있습니다.
정확한 문제는: x의 계수가 10, x의 계수가 -13으로 보입니다.
이미지를 보면 실제 문제는:
x²의 계수가 10
x의 계수가 -13
따라서:
- x²항의 계수: b + 3a = 10 … ①
- x항의 계수: ab – 5 = -13 … ②
①에서: b = 10 – 3a
이를 ②에 대입:
10a – 3a² – 5 = -13
-3a² + 10a + 8 = 0
3a² – 10a – 8 = 0
(3a + 2)(a – 4) = 0
따라서: a = -2/3 또는 a = 4
경우 1: a = 4일 때
경우 2: a = -2/3일 때
경우 1: a = 4, b = -2
경우 2: a = -2/3, b = 12
두 경우 모두 ab = -8입니다!
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⚠️ 자주 틀리는 포인트
• x × (-5) = -5x (음수 주의!)
• a × (-5) = -5a (음수 곱셈 주의!)
해결법: 음수가 포함된 항은 괄호를 써서 명확히 표시하세요.
• x²항: bx² + 3ax² = (b + 3a)x²로 반드시 정리
• x항: -5x + abx = (ab – 5)x로 반드시 정리
해결법: 같은 차수의 항끼리 묶어서 계수를 더하거나 빼세요.
• b = 10 – 3a를 ab – 5 = -13에 대입할 때
• a(10 – 3a) = 10a – 3a² (분배법칙 정확히!)
해결법: 대입 후 천천히 전개하고, 한 번 더 검산하세요.
• 3a² – 10a – 8 = 0을 인수분해할 때
• (3a + 2)(a – 4) = 0 (부호와 계수 확인!)
해결법: 인수분해 후 전개해서 원래 식이 나오는지 검산하세요.
• a = 4일 때와 a = -2/3일 때 각각 ab 계산
• 문제에서 요구하는 것이 무엇인지 확인
해결법: 두 해 모두 구한 후, 문제 조건을 다시 확인하세요.
💡 실수를 줄이는 꿀팁
1단계: 첫 번째 항 × 모든 항
2단계: 두 번째 항 × 모든 항
3단계: 동류항끼리 묶기
4단계: 차수별로 정리
이 순서를 지키면 빠뜨리는 항이 없습니다!
| 항 | 전개식에서 계수 | 주어진 계수 |
|---|---|---|
| x³ | 3 | – |
| x² | b + 3a | 10 |
| x | ab – 5 | -13 |
| 상수 | -5a | – |
최종 답을 구한 후 원래 식에 대입해 보세요.
• a = 4, b = -2를 (x + a)(3x² + bx – 5)에 대입
• (x + 4)(3x² – 2x – 5) 전개
• x²항과 x항의 계수가 10과 -13이 나오는지 확인
이 과정으로 답의 정확성을 확인할 수 있습니다!
3a² – 10a – 8 = 0 같은 식에서
• 인수분해가 어려우면 근의 공식 사용
• a = [10 ± √(100 + 96)] / 6
• 계산기를 활용해도 좋습니다
인수분해가 안 보이면 다른 방법을 시도하세요!
• 문제를 읽으면서 핵심 조건에 밑줄
• 구하는 것을 명확히 파악 (a? b? ab?)
• 불필요한 항은 계산하지 않기
• 대입과 전개를 한 번에 하지 말고 단계별로
정확성이 속도보다 중요합니다!
🎓 관련 개념 및 유사 문제
관련 개념
- 다항식의 곱셈과 분배법칙
- 동류항의 정리
- 계수 비교와 연립방정식
- 이차방정식의 인수분해
- 나머지정리와 인수정리 (심화)
유사 문제 유형
- 0047번: 다항식의 곱셈에서 계수 구하기
- 0048번: 다항식의 전개식에서 특정 항 찾기
- 0050번: 다항식의 합성수 전개
- 0051번: 연속하는 정수의 곱 전개
📚 추가 학습 자료
더 공부하면 좋을 내용
- 기본: 곱셈 공식 (a+b)², (a-b)², (a+b)(a-b)
- 발전: 삼차 이상의 다항식 곱셈
- 심화: 다항식의 나눗셈과 나머지정리
- 응용: 항등식의 성질
쎈 공통수학1 문제별 풀이
문제 0049번 | 다항식의 연산 – 전개와 계수 비교
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