쎈공수1-0048번 다항식의 전개식에서 x의 계수 구하기
📝 문제 요약
다항식 (2x²+x-3)(x²+2x+k)의 전개식에서 x항의 계수가 5일 때, 상수 k의 값을 구하는 문제입니다.
주어진 조건:
- 두 다항식: (2x²+x-3)와 (x²+2x+k)
- 전개식에서 x항의 계수 = 5
구하는 것: 상수 k의 값
난이도: ⭐⭐ (중급 – 체계적인 전개 필요)
💡 풀이에 필요한 핵심 개념
🔑 핵심 아이디어
1. 다항식의 곱셈 전개
두 다항식을 곱할 때는 분배법칙을 사용하여 각 항끼리 곱한 후 동류항을 정리합니다.
(A+B+C)(D+E+F) = AD + AE + AF + BD + BE + BF + CD + CE + CF
2. x항의 계수만 찾기
전체를 전개하지 않고, x항을 만들 수 있는 곱셈 조합만 찾아도 충분합니다:
- x² × 상수항
- x × x
- 상수항 × x²
3. 효율적인 계수 찾기
각 차수별로 어떤 항들의 곱으로 만들어지는지 파악하면 계산이 간단해집니다.
📖 상세 풀이 과정
STEP 1️⃣ x항을 만드는 곱셈 조합 찾기
(2x²+x-3)(x²+2x+k)를 전개할 때, x항은 다음의 곱으로 만들어집니다:
구체적으로:
• x × k = kx
• (-3) × 2x = -6x
따라서 x항의 계수는: k + (-6) = k – 6
STEP 2️⃣ 조건식 세우기
문제에서 x항의 계수가 5라고 했으므로:
k – 6 = 5
STEP 3️⃣ k값 구하기
k = 5 + 6
k = 11
STEP 4️⃣ 검산 (선택사항)
k = 11을 대입하여 확인해봅시다:
= x·11 + (-3)·2x
= 11x – 6x
= 5x ✓
x의 계수가 5로 확인되므로 답이 맞습니다!
📊 전개식 계수 구성표 (참고용)
| 만들어지는 항 | 곱셈 조합 | 계수 |
|---|---|---|
| x⁴ | 2x² × x² | 2 |
| x³ | 2x² × 2x + x × x² | 4 + 1 = 5 |
| x² | 2x² × k + x × 2x + (-3) × x² | 2k + 2 – 3 = 2k – 1 |
| x | x × k + (-3) × 2x | k – 6 = 5 |
| 상수항 | (-3) × k | -3k = -33 |
📸 해설 이미지
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🎥 풀이 영상
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⚠️ 자주 하는 실수와 주의사항
❌ 흔한 실수 1: 모든 항을 전개하려는 시도
x의 계수만 구하면 되는데 모든 항을 전개하면 시간이 오래 걸립니다. 필요한 항만 선택적으로 계산하는 것이 효율적입니다.
❌ 흔한 실수 2: x항을 만드는 조합 누락
x항은 여러 가지 곱셈 조합으로 만들어집니다:
- 첫 번째 다항식의 x × 두 번째 다항식의 상수항(k)
- 첫 번째 다항식의 상수항(-3) × 두 번째 다항식의 x항(2x)
이 중 하나라도 빠뜨리면 틀린 답이 나옵니다.
❌ 흔한 실수 3: 부호 실수
(-3) × 2x = -6x에서 음수를 다룰 때 부호를 정확히 처리해야 합니다.
올바른 계산: k – 6 = 5 → k = 11 ✓
❌ 흔한 실수 4: x²항과 x항 혼동
다음을 구분하지 못하는 경우:
- x × x = x² (이것은 x²항을 만듦)
- x × k = kx (이것이 x항을 만듦)
🎯 실수를 줄이는 꿀팁
✅ Tip 1: 표로 정리하기
다항식 곱셈을 표로 정리하면 누락 없이 체계적으로 계산할 수 있습니다:
——-|——————
2x² | 2x⁴ 4x³ 2kx²
x | x³ 2x² kx
-3 | -3x² -6x -3k
이 표에서 x항은 kx와 -6x입니다.
✅ Tip 2: 필요한 차수만 집중
x항의 계수만 구하면 되므로, x항을 만드는 조합만 찾습니다:
- 첫 번째 식에서 x를 골라 두 번째 식의 상수항과 곱하기
- 첫 번째 식에서 상수항을 골라 두 번째 식의 x항과 곱하기
이 방법으로 시간을 크게 절약할 수 있습니다!
✅ Tip 3: 반드시 검산하기
구한 k값을 원래 식에 대입하여 x의 계수가 정말 5가 되는지 확인하세요. 이 과정에서 실수를 발견할 수 있습니다.
✅ Tip 4: 부호 관리
음수 항(-3)이 포함된 경우 부호를 명확히 표시하며 계산하세요:
(+x) × (+k) = +kx
합: kx + (-6x) = (k-6)x
📚 관련 개념 정리
다항식 곱셈의 일반 원리
(ax² + bx + c)(dx² + ex + f) 전개 시 각 항의 계수:
• x⁴항: ad
• x³항: ae + bd
• x²항: af + be + cd
• x항: bf + ce
• 상수항: cf
특정 차수 계수만 구하는 전략
n차 항의 계수를 구할 때:
1. 첫 번째 다항식에서 k차 항을 선택
2. 두 번째 다항식에서 (n-k)차 항을 선택
3. 모든 가능한 k에 대해 위 과정 반복
4. 얻은 항들을 모두 더함
🔗 유사 문제 유형
- 쎈 공통수학1 0046번: 전개식에서 x²의 계수 구하기
- 쎈 공통수학1 0047번: ab의 계수 구하기
- 쎈 공통수학1 0049번: 두 조건을 만족하는 미지수 구하기
- 쎈 공통수학1 0050번: 등비수열 합을 이용한 전개식 계수
📝 추가 연습 문제
비슷한 유형 연습하기
문제 1: (3x²+2x-1)(x²+ax+5)의 전개식에서 x항의 계수가 7일 때, a의 값은?
문제 2: (x²-3x+b)(2x²+x-4)의 전개식에서 x항의 계수가 -10일 때, b의 값은?
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💬 학습 마무리
이 문제는 다항식의 전개에서 필요한 항만 선택적으로 계산하는 효율적인 방법을 배우는 문제입니다. 모든 항을 전개하지 않고도 특정 차수의 계수만 구할 수 있다는 점이 핵심입니다.
특히 x항을 만드는 조합을 정확히 파악하고, 부호를 신중하게 다루는 연습이 중요합니다. 표를 그려서 체계적으로 정리하는 습관을 들이면 실수를 크게 줄일 수 있습니다!
핵심 요약:
- ✓ x항 = (x × 상수항) + (상수항 × x항)
- ✓ 필요한 조합만 선택적으로 계산
- ✓ 부호를 정확히 처리
- ✓ 반드시 검산으로 확인
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