쎈 공통수학1-0046번: 다항식 전개식에서 $x^2$ 계수 찾기
1. 문제 요약 및 풀이 전략 (Hint)
이번 문제는 두 다항식의 곱으로 이루어진 형태에서 특정 차수인 $x^2$의 계수를 구하는 유형입니다. 모든 항을 일일이 전개하는 것은 시간 낭비일 뿐만 아니라 계산 실수를 유발할 수 있습니다.
핵심 전략: ‘필요한 항만 골라내기’
- 목표: 전개했을 때 $x^2$이 되는 조합 찾기
- 조합의 조건: (왼쪽 다항식의 항) $\times$ (오른쪽 다항식의 항) = $x^2$이 되어야 함
- 가능한 경우의 수:
- (왼쪽의 $x^2$항) $\times$ (오른쪽의 상수항)
- (왼쪽의 $x$항) $\times$ (오른쪽의 $x$항)
- (왼쪽의 상수항) $\times$ (오른쪽의 $x^2$항)
※ 참고: 왼쪽 식의 $2x^3$ 항은 어떤 항과 곱해져도 $x^2$보다 차수가 높아지므로 고려할 필요가 없습니다.
2. 상세 해설 및 정답
문제식: $(2x^3 + 6x^2 – 8x – 1)(x^2 + 5x + 10)$
| 왼쪽 다항식 항 | 오른쪽 다항식 항 | 계산 결과 ($x^2$항) |
|---|---|---|
| $6x^2$ | $10$ | $60x^2$ |
| $-8x$ | $5x$ | $-40x^2$ |
| $-1$ | $x^2$ | $-1x^2$ |
위에서 구한 항들을 모두 더하면 최종 $x^2$의 계수가 됩니다.
$60 + (-40) + (-1) = 19$
[여기에 0046번 풀이 이미지 삽입]
[여기에 0046번 풀이 동영상 삽입]
정답: ④ 19
3. 자주 틀리는 부분 및 실수를 줄이는 꿀팁
⚠️ 주의해야 할 실수 포인트
- 부호 실수: $-8x$와 $5x$를 곱할 때 마이너스($-$) 부호를 빼먹지 않도록 주의하세요. 특히 상수항 $-1$의 부호도 매우 중요합니다.
- 누락된 항: 위 세 가지 경우 중 하나라도 빼먹으면 오답이 나옵니다. 차수를 하나씩 내려가며(2차, 1차, 0차) 체계적으로 검토하세요.
- 불필요한 계산: $2x^3$처럼 차수가 목표($x^2$)보다 높은 항은 과감히 무시해야 시간을 단축할 수 있습니다.
이 유형은 이후에 배우게 될 ‘이항정리’의 기초가 되는 원리입니다. ‘필요한 항만 선택해서 곱한다’는 개념을 확실히 잡아두시면 복잡한 전개식 문제도 쉽게 풀 수 있습니다.
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