쎈 공통수학1-0045번: 다항식 마방진의 원리
안녕하세요! 1문제 1포스팅 시간입니다. 오늘은 쎈 공통수학Ⅰ 12페이지의 하이라이트 문제인 0045번을 풀어보겠습니다. 이 문제는 숫자 마방진처럼 가로, 세로, 대각선의 다항식 합이 모두 같다는 성질을 이용합니다.
[문제 0041]
다음 표에서 가로, 세로, 대각선에 있는 세 다항식의 합이 모두 $3x^2 – 6x + 9$일 때, (나)의 다항식과 (다)의 다항식의 합을 구하시오.| $-3x + 2$ | (가) | (나) |
| (다) | (라) | $-3x^2 – 6x – 1$ |
| $-2x^2 – 5x$ | (마) | (바) |
1. 풀이에 필요한 핵심 개념 및 힌트
마방진 문제를 풀 때는 이미 정보가 많이 주어진 줄부터 공략하는 ‘단서 찾기’가 핵심입니다.
- 목표 설정: (나)와 (다)를 구해야 합니다.
- 단서 확인: 합이 $3x^2 – 6x + 9$이므로, 세 칸 중 두 칸을 아는 줄을 먼저 찾습니다.
- 연쇄적 풀이: 첫 번째 열을 이용해 (다)를 먼저 구하고, 대각선이나 다른 행/열을 이용해 순차적으로 접근합니다.
💡 풀이 순서 힌트:
1. 첫 번째 열: $(-3x+2) + (\text{다}) + (-2x^2-5x) = \text{합}$ 임을 이용해 (다)를 구하세요.
2. 두 번째 행: $(\text{다}) + (\text{라}) + (-3x^2-6x-1) = \text{합}$ 임을 이용해 (라)를 구하세요.
3. 대각선: $(-2x^2-5x) + (\text{라}) + (\text{나}) = \text{합}$ 임을 이용해 (나)를 구하세요.
1. 첫 번째 열: $(-3x+2) + (\text{다}) + (-2x^2-5x) = \text{합}$ 임을 이용해 (다)를 구하세요.
2. 두 번째 행: $(\text{다}) + (\text{라}) + (-3x^2-6x-1) = \text{합}$ 임을 이용해 (라)를 구하세요.
3. 대각선: $(-2x^2-5x) + (\text{라}) + (\text{나}) = \text{합}$ 임을 이용해 (나)를 구하세요.
2. 단계별 상세 풀이 과정
단계 1: 다항식 (다) 구하기
첫 번째 열의 합을 이용합니다.
$$ (\text{다}) = (3x^2 – 6x + 9) – (-3x + 2) – (-2x^2 – 5x) $$ $$ = 3x^2 – 6x + 9 + 3x – 2 + 2x^2 + 5x $$ $$ = 5x^2 + 2x + 7 \quad \cdots $$단계 2: 다항식 (라) 구하기
두 번째 행의 합을 이용합니다.
$$ (\text{라}) = (3x^2 – 6x + 9) – (5x^2 + 2x + 7) – (-3x^2 – 6x – 1) $$ $$ = 3x^2 – 6x + 9 – 5x^2 – 2x – 7 + 3x^2 + 6x + 1 $$ $$ = x^2 – 2x + 3 \quad \cdots $$단계 3: 다항식 (나) 구하기
대각선($-2x^2-5x$부터 (나)까지)의 합을 이용합니다.
$$ (\text{나}) = (3x^2 – 6x + 9) – (-2x^2 – 5x) – (x^2 – 2x + 3) $$ $$ = 3x^2 – 6x + 9 + 2x^2 + 5x – x^2 + 2x – 3 $$ $$ = 4x^2 + x + 6 \quad \cdots $$단계 4: 최종 합 계산하기
(나)와 (다)의 합을 구합니다.
$$ (4x^2 + x + 6) + (5x^2 + 2x + 7) = 9x^2 + 3x + 13 \quad \cdots $$정답: $9x^2 + 3x + 13$
3. 자주 틀리는 포인트 및 실수를 줄이는 꿀팁
| 주요 실수 지점 | 방지하는 전략 |
|---|---|
| 잘못된 줄 선택 | 모르는 칸이 두 개 이상인 줄을 먼저 풀려고 하면 식이 복잡해집니다. 반드시 한 칸만 모르는 줄부터 시작하세요. |
| 부호 역전 실수 | 항을 넘겨서 뺄 때, 괄호를 풀면서 모든 항의 부호를 정확히 바꿨는지 체크하세요. |
| 동류항 누락 | 표 안에 항이 많으므로 $x^2, x, \text{상수항}$별로 계수를 따로 적어 계산하면 정확합니다. |
전문가 제언: 이 문제는 개별 다항식을 구하는 능력보다 ‘어떤 경로로 단서를 찾아나갈 것인가’ 하는 퍼즐적 사고가 중요합니다. 시험지 여백에 빈 표를 그려두고 구한 값을 하나씩 채워 넣으면 혼동을 줄일 수 있습니다.
오늘로 ‘다항식의 덧셈과 뺄셈’ 유형을 모두 마쳤습니다! 다음 포스팅부터는 유형 02: 다항식의 전개식에서 계수 구하기를 함께 공부해 보겠습니다.
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