쎈 공통수학1-0044번: 다항식의 연립방정식 풀이
안녕하세요! 1문제 1포스팅 시간입니다. 오늘 함께 정복할 문제는 쎈 공통수학Ⅰ 12페이지의 0044번 서술형 문제입니다. 이 문제는 두 다항식 사이의 합과 차의 관계가 주어졌을 때, 각각의 다항식을 찾아내어 복합적인 식을 계산하는 과정을 담고 있습니다.
[문제 0044]
두 다항식 $A, B$에 대하여$A-B = -3x^2 + 2xy – 2y^2 \quad \cdots$ (ㄱ)
$2A+B = xy – 4y^2 \quad \cdots$ (ㄴ)
일 때, $A-5B$를 계산하시오.
1. 풀이에 필요한 핵심 개념 및 힌트
중학교 때 배웠던 연립방정식의 원리를 다항식에 그대로 적용하면 됩니다.
- 가감법의 활용: 다항식 $B$의 부호가 (ㄱ)에서는 $-$, (ㄴ)에서는 $+$이므로 두 식을 더하면 $B$를 소거하여 $A$를 바로 구할 수 있습니다.
- 다항식 대입 시 주의점: 구한 $A$를 이용하여 $B$를 찾을 때, 뺄셈 기호가 포함된 식의 부호 변화에 특히 주의해야 합니다.
- 최종 식 정리: $A-5B$를 계산할 때 계수 연산이 복잡해질 수 있으므로 동류항끼리 꼼꼼히 묶어줍니다.
💡 핵심 힌트: 먼저 (ㄱ)+(ㄴ)을 통해 $3A$를 구하고 $A$를 찾으세요. 그 다음 (ㄱ) 또는 (ㄴ)에 대입하여 $B$를 구하면 모든 준비가 끝납니다!
2. 단계별 상세 풀이 과정
단계 1: 다항식 $A$ 구하기
식 (ㄱ)과 (ㄴ)을 변끼리 더하여 $B$를 소거합니다.
$$(A-B) + (2A+B) = (-3x^2 + 2xy – 2y^2) + (xy – 4y^2)$$ $$3A = -3x^2 + 3xy – 6y^2 \text{}$$ 양변을 3으로 나누면, $$A = -x^2 + xy – 2y^2 \quad \cdots \text{(ㄷ)} \text{}$$단계 2: 다항식 $B$ 구하기
구한 (ㄷ)을 식 (ㄱ)에 대입하여 $B$를 구합니다.
$$(-x^2 + xy – 2y^2) – B = -3x^2 + 2xy – 2y^2 \text{}$$ $$B = (-x^2 + xy – 2y^2) – (-3x^2 + 2xy – 2y^2)$$ $$B = -x^2 + xy – 2y^2 + 3x^2 – 2xy + 2y^2$$ $$B = 2x^2 – xy \quad \cdots \text{(ㄹ)} \text{}$$단계 3: $A-5B$ 계산하기
찾아낸 $A$와 $B$를 최종 연산식에 대입합니다.
$$A – 5B = (-x^2 + xy – 2y^2) – 5(2x^2 – xy)$$ $$= -x^2 + xy – 2y^2 – 10x^2 + 5xy$$ $$= (-1-10)x^2 + (1+5)xy – 2y^2$$ 따라서 최종 결과는 다음과 같습니다. $$= -11x^2 + 6xy – 2y^2 \text{}$$정답: $-11x^2 + 6xy – 2y^2$
3. 자주 틀리는 포인트 및 실수를 줄이는 꿀팁
| 주요 실수 지점 | 방지하는 전략 |
|---|---|
| 서술형 배점 관리 | $A$와 $B$를 각각 구하는 과정이 명확히 드러나야 합니다. |
| 음수 분배법칙 | $-5(2x^2 – xy)$를 계산할 때 뒤 항의 부호를 $+5xy$로 바꾸는 것을 놓치지 마세요. |
| 동류항 혼동 | $xy$항과 $y^2$항의 계수가 $0$이 되는 경우가 있는지 끝까지 확인하세요. |
전문가 제언: 연립 다항식 문제는 ‘정확성’이 생명입니다. $A$를 구한 시점에서 (ㄱ)과 (ㄴ) 중 더 간단해 보이는 식에 대입하여 $B$를 찾는 것이 계산 시간을 단축하는 노하우입니다.
다음 문제는 어떤 유형일까요? 이제 다항식의 합이 일정한 표를 채우는 0045번 마방진 유형을 통해 논리적인 사고력을 더 키워보시겠어요?
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