쎈 공통수학1-0043번: 순환하는 세 다항식의 합 구하기
안녕하세요! 1문제 1포스팅 시간입니다. 오늘 다룰 문제는 쎈 공통수학Ⅰ 12페이지의 0043번입니다. 이 문제는 $A, B, C$ 세 다항식이 두 개씩 짝지어 합쳐진 형태가 주어졌을 때, 세 다항식의 전체 합을 구하는 문제입니다.
[문제 0043]
세 다항식 $A, B, C$에 대하여$A+B = -x^2 + 5xy + y^2$
$B+C = 2x^2 – 3xy$
$C+A = x^2 + 6xy – 7y^2$
일 때, $A+B+C$를 계산하면?
1. 풀이에 필요한 핵심 개념 및 힌트
이 문제처럼 문자가 순환하며 더해진 형태는 각 문자를 따로 구하는 것보다 ‘통째로 더하기’ 전략이 훨씬 빠릅니다.
- 순환 구조의 특징: $(A+B), (B+C), (C+A)$를 모두 더하면 $A, B, C$가 각각 두 번씩 등장하여 $2(A+B+C)$가 됩니다.
- 동류항 결합: 우변의 다항식들을 합칠 때 $x^2, xy, y^2$ 항끼리 빠짐없이 계산하는 것이 중요합니다.
- 계수 나누기: 마지막에 구한 합은 $2(A+B+C)$이므로, 우리가 원하는 $A+B+C$를 얻기 위해 양변을 $2$로 나누어야 합니다.
💡 핵심 힌트: 주어진 세 식을 변끼리 모두 더해 보세요. 좌변은 $2(A+B+C)$가 되고, 우변의 동류항을 정리하면 답이 보입니다!
2. 단계별 상세 풀이 과정
단계 1: 세 식을 변끼리 더하기
주어진 세 식을 좌변은 좌변끼리, 우변은 우변끼리 모두 더합니다.
$$(A+B) + (B+C) + (C+A) = (-x^2+5xy+y^2) + (2x^2-3xy) + (x^2+6xy-7y^2)$$ $$2A + 2B + 2C = (-1+2+1)x^2 + (5-3+6)xy + (1-7)y^2 \text{}$$ $$2(A+B+C) = 2x^2 + 8xy – 6y^2 \text{}$$단계 2: 양변을 2로 나누어 최종 결과 도출
우리가 구하고자 하는 것은 $A+B+C$이므로 위에서 구한 식을 $2$로 나눕니다.
$$A+B+C = \frac{1}{2}(2x^2 + 8xy – 6y^2)$$ $$A+B+C = x^2 + 4xy – 3y^2 \text{}$$정답: ④
3. 자주 틀리는 포인트 및 실수를 줄이는 꿀팁
| 주요 실수 지점 | 방지하는 전략 |
|---|---|
| 각 다항식을 따로 구하려 함 | $A$를 구하기 위해 식을 빼는 과정을 거치면 계산이 복잡해집니다. 문제에서 묻는 $A+B+C$ 덩어리를 바로 찾으세요. |
| 동류항 계산 실수 | $B+C$ 식에는 $y^2$ 항이 없습니다(계수가 0). 합산할 때 자릿수를 잘 맞춰 계산하세요. |
| 마지막 2 나누기 망각 | $2(A+B+C)$를 구하고 그대로 답을 체크하는 경우가 많습니다. 반드시 2로 나누었는지 확인하세요. |
전문가 제언: 이러한 순환 대칭형 구조는 고난도 문제에서도 자주 등장합니다. “좌변을 싹 다 더하면 각 문자가 몇 번 나올까?”를 먼저 생각하는 습관을 들이면 연립방정식 단원에서도 큰 도움이 됩니다.
다음 문제도 정복해볼까요? 이어지는 0044번은 연립 다항식을 이용하여 개별 다항식을 구하고 다시 연산하는 문제입니다. 준비되셨나요?
⚠️ 저작권 안내 및 이용 주의사항
- 본 블로그에 게시된 모든 자료(답지 및 해설)의 저작권은 해당 교재의 출판사에 있습니다.
- 자료는 오직 학생들의 채점, 오답 정리, 자기주도 학습용으로만 활용해 주시기 바랍니다.
- 제공된 파일을 상업적으로 이용하거나, 타 사이트에 무단 배포하여 발생하는 모든 법적 책임은 이용자 본인에게 있습니다.
- 저작권 관련 문제가 있거나 삭제를 원하시는 출판사 관계자분께서는 [leinbow@gmail.com]로 연락 주시면 즉시 조치하겠습니다.