쎈 공통수학1-0041번: 세 다항식의 복합 연산 가이드
안녕하세요! 1문제 1포스팅 시간입니다. 오늘은 쎈 공통수학Ⅰ 12페이지에 수록된 0041번 문제를 풀어보겠습니다. 이 문제는 세 다항식 $A, B, C$가 주어졌을 때 복합적인 연산식을 해결하는 능력을 평가합니다.
[문제 0041]
세 다항식 $A = 2x^3 – x^2 + 3x + 4$, $B = x^3 + x – 2$, $C = -x^3 + 3x^2 + 5x – 1$에 대하여 $$A – 2(A – B) + C$$ 를 계산하면?1. 풀이에 필요한 핵심 개념 및 힌트
세 다항식을 각각 대입하기 전에 식 자체를 간소화하는 것이 가장 효율적입니다.
- 식의 간소화 우선: 주어진 연산식 $A – 2(A – B) + C$를 먼저 전개하여 정리합니다.
- 괄호의 분배법칙: $-2(A – B)$를 전개할 때 $-2A + 2B$가 됨에 주의하세요.
- 내림차순 정리: 대입 후 계산할 때 차수가 높은 항부터 차례대로 정리하면 실수를 줄일 수 있습니다.
💡 핵심 힌트: 먼저 $A – 2(A – B) + C$를 계산하면 $-A + 2B + C$가 됩니다. 이 간단해진 식에 다항식을 대입해 보세요!
2. 단계별 상세 풀이 과정
단계 1: 연산식 정리하기
주어진 식을 분배법칙을 이용해 정리합니다.
$$A – 2(A – B) + C = A – 2A + 2B + C$$ $$= -A + 2B + C \quad \cdots (\text{ㄱ}) \text{}$$단계 2: 다항식 대입하기
정리된 식 (ㄱ)에 각각의 다항식을 대입합니다.
$$= -(2x^3 – x^2 + 3x + 4) + 2(x^3 + x – 2) + (-x^3 + 3x^2 + 5x – 1) \text{}$$단계 3: 전개 및 동류항 정리
부호와 계수에 주의하며 괄호를 풀어줍니다.
$$= -2x^3 + x^2 – 3x – 4 + 2x^3 + 2x – 4 – x^3 + 3x^2 + 5x – 1 \text{}$$이제 동류항끼리 모아서 계산합니다.
- $x^3$ 항: $-2x^3 + 2x^3 – x^3 = -x^3$
- $x^2$ 항: $x^2 + 3x^2 = 4x^2$
- $x$ 항: $-3x + 2x + 5x = 4x$
- 상수항: $-4 – 4 – 1 = -9$
정답: ③
3. 자주 틀리는 포인트 및 실수를 줄이는 꿀팁
| 구분 | 주요 실수 사례 | 방지하는 전략 |
|---|---|---|
| 부호 전개 실수 | $-2(A – B)$를 $-2A – 2B$로 잘못 전개하는 경우 | 음수가 포함된 분배법칙은 괄호 안 모든 항의 부호를 바꾼다고 생각하세요. |
| 대입 누락 | 식 정리 없이 $A$만 대입하고 뒤의 식을 잊어버리는 경우 | 항상 식 전체를 한 줄에 쓰고 계산하는 습관을 들이세요. |
| 계산 오차 | 상수항의 합산에서 부호를 헷갈려 숫자가 달라지는 경우 | 계산이 끝난 후 각 항의 계수만 따로 한 번 더 검산해 보세요. |
전문가 제언: 이 문제는 ‘다항식의 덧셈과 뺄셈’의 정석적인 문제입니다. 식이 길어질수록 동류항끼리 세로로 정렬하여 계산하는 것도 실수를 방지하는 좋은 방법입니다. 식을 정리하는 단계에서 시간을 아껴야 실제 대입 연산에 더 집중할 수 있습니다.
더 공부해보기: 이 문제가 쉬웠다면, 조건이 주어지는 다항식 연산인 0042번 문제도 함께 확인해 볼까요?
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