177 삼단논법 특강: p이면 q, q이면 r, 고로 p이면 r! 🔗
안녕하세요, 논리의 연결고리를 찾아내는 탐정 친구들! 👋 우리가 명제를 다루다 보면, 여러 개의 명제들이 서로 연결되어 새로운 결론을 이끌어내는 경우가 있어요. 그중에서도 아주 유명하고 기본적인 추론 방식이 바로 삼단논법(Syllogism)이랍니다! “소크라테스는 사람이다. 모든 사람은 죽는다. 따라서 소크라테스는 죽는다.” 와 같은 논리가 바로 삼단논법의 대표적인 예시죠. 오늘은 이 삼단논법이 수학에서는 어떻게 조건 명제들 사이의 관계로 나타나는지, 그리고 그 타당성을 진리집합을 통해 어떻게 확인할 수 있는지 알아볼 거예요. 함께 논리의 다리를 건너볼까요? 🌉
📝 핵심만정리: 삼단논법, 이렇게 연결돼요!
세 조건 p, q, r에 대하여,
만약 두 명제 p \Rightarrow q (p이면 q이다가 참) 와 q \Rightarrow r (q이면 r이다가 참) 이 모두 참이라면,
새로운 명제 p \Rightarrow r (p이면 r이다)도 항상 참이 됩니다.
이것을 삼단논법이라고 합니다.
진리집합으로 표현하면, P, Q, R이 각각 조건 p, q, r의 진리집합일 때, P \subset Q 이고 Q \subset R 이면 P \subset R 이 성립한다는 것과 같아요.
🤔 삼단논법이란 무엇일까요? (논리적 추론의 다리)
개념정리 177-1: 두 개의 참 명제로부터 새로운 참 명제 유도!
삼단논법은 두 개의 전제(가정)로부터 필연적인 결론을 이끌어내는 고전적인 논리 추론 방식 중 하나예요.
수학에서 조건 명제와 관련하여 삼단논법은 다음과 같이 정의됩니다:
세 조건 p, q, r에 대하여,
두 명제 “p \rightarrow q” 와 “q \rightarrow r” 가 모두 참일 때,
결론적으로 명제 “p \rightarrow r” 도 항상 참이 된다는 추론 규칙입니다.
마치 p에서 q로 가는 다리가 있고, q에서 r로 가는 다리가 있다면, p에서 r로 직접 가는 다리도 놓을 수 있다는 것과 같아요!
예시:
- p: 소크라테스이다.
- q: 인간이다.
- r: 죽는다.
두 명제가 참이라고 해봅시다:
- p \Rightarrow q: “소크라테스는 인간이다.” (참)
- q \Rightarrow r: “모든 인간은 죽는다.” (참)
삼단논법에 의해, 우리는 다음과 같은 새로운 참인 명제를 얻을 수 있습니다:
p \Rightarrow r: “소크라테스는 죽는다.” (참)
🖼️ 진리집합의 포함 관계로 이해하는 삼단논법!
개념정리 177-2: P \subset Q 이고 Q \subset R 이면 P \subset R!
삼단논법의 타당성은 각 조건의 진리집합 사이의 포함 관계를 이용하면 아주 명확하게 이해할 수 있어요.
세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R이라고 합시다.
- 명제 p \Rightarrow q가 참이라는 것은, 진리집합 P가 진리집합 Q에 포함된다는 뜻입니다 (P \subset Q).
- 명제 q \Rightarrow r가 참이라는 것은, 진리집합 Q가 진리집합 R에 포함된다는 뜻입니다 (Q \subset R).
만약 P \subset Q이고 동시에 Q \subset R이라면, 집합의 부분집합 성질에 의해 P는 R의 부분집합이 될 수밖에 없겠죠 (P \subset R).
P \subset R이라는 것은 바로 명제 p \Rightarrow r가 참이라는 것을 의미합니다!
이처럼 삼단논법은 진리집합의 포함 관계를 통해 그 논리적 타당성을 확보할 수 있습니다.
🧐 개념확인 문제: 삼단논법으로 새로운 참 명제 찾기!
이제 배운 삼단논법을 이용해서 새로운 참인 명제를 찾아봅시다!
세 조건 p, q, r에 대하여 두 명제 p \rightarrow \sim q와 \sim p \rightarrow r가 모두 참일 때, 명제 q \rightarrow r가 참임을 설명하시오. (PDF Check 문제)
정답 및 해설:
주어진 조건은 다음과 같습니다:
- 명제 p \rightarrow \sim q가 참이다. (p \Rightarrow \sim q)
- 명제 \sim p \rightarrow r가 참이다. (\sim p \Rightarrow r)
우리가 보이고 싶은 것은 명제 q \rightarrow r가 참이라는 것입니다.
첫 번째 명제 p \Rightarrow \sim q가 참이므로, 그 대우도 참입니다.
대우는 ~(~q) \rightarrow ~p, 즉 q \Rightarrow \sim p 입니다.
이제 우리에게는 다음과 같은 두 개의 참인 명제가 있습니다:
- q \Rightarrow \sim p (원래 명제 1의 대우)
- \sim p \Rightarrow r (원래 명제 2)
이 두 명제를 보면, \sim p가 중간 다리 역할을 하고 있죠?
(q이면 \sim p이고, \sim p이면 r이다.)
따라서 삼단논법에 의하여, 명제 q \Rightarrow r (즉, q \rightarrow r)도 참입니다.
이처럼 삼단논법은 직접적인 연결이 보이지 않는 두 조건 사이의 관계도 밝혀낼 수 있게 해주는 유용한 도구예요! 😉
오늘은 두 개의 참인 조건 명제 p \Rightarrow q와 q \Rightarrow r로부터 새로운 참인 명제 p \Rightarrow r을 이끌어내는 삼단논법에 대해 배웠습니다. 이 논리적 추론 규칙은 진리집합의 포함 관계(P \subset Q이고 Q \subset R이면 P \subset R)를 통해 그 타당성을 확인할 수 있었죠? 삼단논법은 수학적 증명이나 논리적 사고를 전개하는 데 있어 매우 기본적인 틀을 제공해 준답니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 ‘절대부등식’과 ‘조건부등식’에 대해 알아보겠습니다. 🌟