176 명제의 증명: 대우법과 귀류법으로 진실 밝히기! 🕵️♀️
안녕하세요, 논리의 진실을 파헤치는 탐험가 친구들! 👋 어떤 명제가 참이라는 것을 보이는 과정을 ‘증명’이라고 한다고 배웠죠? 때로는 명제를 직접 증명하는 것이 어려울 때가 있어요. 이럴 때 우리는 간접적인 방법을 사용하여 명제가 참임을 밝혀낼 수 있는데, 오늘 배울 대우법과 귀류법이 바로 그런 간접증명법의 대표적인 예랍니다! 마치 탐정이 직접적인 증거 대신 주변 상황이나 모순점을 통해 범인을 밝혀내듯, 이 방법들은 논리의 힘으로 진실에 다가갈 수 있게 해줘요. 함께 그 방법들을 알아볼까요? 💡
📝 핵심만정리: 대우법과 귀류법!
명제 p \rightarrow q가 참임을 직접 증명하기 어려울 때 사용하는 간접증명법에는 다음 두 가지가 있어요.
- 1. 대우법 (Contrapositive Proof):
→ 원래 명제 p \rightarrow q 대신, 그 대우 명제 ~q \rightarrow ~p가 참임을 증명하는 방법이에요.
→ 원래 명제와 그 대우는 항상 참/거짓을 함께 하므로, 대우가 참이면 원래 명제도 참이 됩니다! - 2. 귀류법 (Reductio ad absurdum 또는 Proof by Contradiction):
→ 명제 p \rightarrow q의 결론 q를 부정하여 (~q라고 가정), 이로부터 모순(가정 p에 위배되거나 이미 알려진 사실에 어긋남)이 생기는 것을 보여요.
→ 모순이 발생했다는 것은 처음의 가정(~q)이 잘못되었다는 뜻이므로, 원래 명제의 결론 q가 참임을 보이는 방법입니다. (때로는 명제 전체를 부정하여 모순을 보이기도 해요.)
🔄 대우법: 대우가 참이면 명제도 참!
개념정리 176-1: (p \rightarrow q) \iff (~q \rightarrow ~p) 활용!
우리는 이전 시간에 명제 p \rightarrow q와 그 대우 명제 ~q \rightarrow ~p는 항상 참과 거짓을 함께 한다는 것을 배웠어요. 즉, 두 명제는 논리적으로 동치 관계에 있죠.
대우법은 바로 이 성질을 이용하는 증명 방법입니다. 어떤 명제 p \rightarrow q를 직접 증명하기가 까다로울 때, 그 명제의 대우인 ~q \rightarrow ~p를 대신 증명하는 것이죠. 만약 대우 명제가 참임을 보일 수 있다면, 원래 명제도 자동으로 참이 되는 것입니다!
대우법은 특히 원래 명제의 결론 q가 “~가 아니다”와 같이 부정적인 형태이거나, “~ 또는 ~”와 같이 여러 경우를 포함할 때, 그 부정인 ~q가 더 다루기 쉬운 형태로 바뀌어 증명이 편리해지는 경우가 많습니다.
예시: 명제 “자연수 x, y에 대하여 xy가 짝수이면 x 또는 y가 짝수이다.”를 대우를 이용하여 증명해 봅시다.
1. 대우 명제 만들기:
가정 p: xy가 짝수이다.
결론 q: x 또는 y가 짝수이다.
~q: “x 또는 y가 짝수이다”의 부정은 “x도 짝수가 아니고 그리고 y도 짝수가 아니다”, 즉 “x와 y가 모두 홀수이다.”
~p: “xy가 짝수이다”의 부정은 “xy가 짝수가 아니다”, 즉 “xy가 홀수이다.”
따라서 대우 명제는 “자연수 x, y에 대하여 x와 y가 모두 홀수이면 xy가 홀수이다.” 입니다.
2. 대우 명제 증명하기:
x, y가 모두 홀수이므로, x = 2k-1, y = 2l-1 (단, k, l은 자연수)로 놓을 수 있습니다.
xy = (2k-1)(2l-1) = 4kl – 2k – 2l + 1 = 2(2kl – k – l) + 1.
여기서 2kl-k-l은 정수이므로, 2(정수)+1 꼴은 홀수입니다. 따라서 xy는 홀수입니다.
3. 결론: 대우 명제가 참이므로, 원래 명제도 참입니다.
⚔️ 귀류법: 결론을 부정하여 모순을 찾아라!
개념정리 176-2: 반대의 가정이 틀렸음을 보이는 방법!
귀류법(Reductio ad absurdum)은 어떤 명제 p \rightarrow q가 참임을 증명하기 위해, 그 명제의 결론 q를 부정(~q)하거나, 또는 명제 전체(p \rightarrow q)를 부정한다고 가정한 후, 이 가정으로부터 논리적으로 모순(이미 알려진 사실이나 가정 p에 위배되는 결과)이 발생함을 보이는 방법이에요.
만약 모순이 발생했다면, 이는 처음에 했던 부정의 가정이 잘못되었다는 것을 의미하므로, 원래의 결론 q (또는 원래 명제 p \rightarrow q)가 참일 수밖에 없다는 결론을 내리는 것입니다.
귀류법은 주로 “\sqrt{2}는 무리수이다”와 같이 직접 증명하기 어려운 명제를 증명할 때 유용하게 사용됩니다.
예시: 명제 “a, b가 서로소이면 a와 b가 모두 짝수인 것은 아니다.”를 귀류법으로 증명해 봅시다. (PDF 예시와 유사)
1. 결론 부정하기: 명제의 결론인 “a와 b가 모두 짝수인 것은 아니다”를 부정하면 “a와 b가 모두 짝수이다“라고 가정합니다.
2. 모순 이끌어내기:
만약 a와 b가 모두 짝수라면, a = 2m, b = 2n (m, n은 정수)으로 놓을 수 있습니다.
이 경우 a와 b는 공약수 2를 가지므로, a와 b는 서로소가 아닙니다.
3. 결론: 이는 원래 명제의 가정인 “a, b가 서로소이다”에 모순됩니다. 따라서 처음에 결론을 부정한 것이 잘못되었으므로, 원래 명제는 참입니다.
🧐 개념확인 문제: 대우를 이용한 증명 완성하기!
이제 배운 대우법을 이용하여 다음 증명 과정의 빈칸을 채워봅시다!
다음은 명제 ‘xy \ne 0이면 x \ne 0이고 y \ne 0이다.’를 대우를 이용하여 증명하는 과정이다. (가)~(라)에 알맞은 것을 구하시오. (PDF Check 문제)
증명:
주어진 명제의 대우는
” ((가) x=0 또는 y=0) 이면 ((나) xy=0) 이다.”
x=0이면 y의 값에 관계없이 ((다) xy=0) 이고, y=0이면 x의 값에 관계없이 ((다) xy=0) 이다.
따라서 주어진 명제의 ((라) 대우)가 참이므로 주어진 명제도 참이다.
정답:
(가): x=0 또는 y=0
(나): xy=0
(다): xy=0
(라): 대우
대우 명제를 정확히 만들고 그 참을 보이는 것이 대우법의 핵심이죠! 😉
오늘은 명제를 직접 증명하기 어려울 때 사용하는 간접증명법인 대우법과 귀류법에 대해 배웠습니다. 대우법은 원래 명제와 참/거짓을 함께하는 대우 명제를 증명하는 방법이었고, 귀류법은 결론(또는 명제 전체)을 부정하여 모순을 이끌어내는 방법이었죠? 이 두 가지 방법은 수학적 논증에서 매우 강력한 도구로 사용되니, 각 방법의 원리를 잘 이해하고 다양한 증명 문제에 적용해보시길 바랍니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 특강에서는 ‘삼단논법’에 대해 알아보겠습니다. 🏛️