172 명제의 역과 대우: 가정과 결론의 자리 바꾸고 부정하기! 🔄🎭
안녕하세요, 논리의 변신을 탐구하는 친구들! 👋 명제 “p이면 q이다” (p \rightarrow q)가 주어졌을 때, 이 명제의 가정 p와 결론 q의 자리를 바꾸거나, 각각을 부정하여 새로운 명제를 만들 수 있어요. 이렇게 만들어진 새로운 명제들을 원래 명제의 역(Converse)과 대우(Contrapositive)라고 부른답니다. 오늘은 이 역과 대우가 무엇인지, 그리고 원래 명제와 어떤 참/거짓 관계를 갖는지 알아볼 거예요. 마치 가면을 바꿔 쓰는 것처럼 명제의 또 다른 얼굴들을 만나볼까요? 🎭
📝 핵심만정리: 역과 대우, 한눈에 보기!
명제 p \rightarrow q에 대하여:
- 역 (Converse): 가정과 결론을 서로 바꾼 명제.
→ q \rightarrow p - 대우 (Contrapositive): 가정과 결론을 각각 부정한 후 서로 자리를 바꾼 명제.
→ ~q \rightarrow ~p
↑↓역 관계 ↑↓역 관계
q \rightarrow p (역) &stackrel{\text{대우}}{\iff} ~p \rightarrow ~q (이)
(참고: 가정과 결론을 각각 부정한 명제 ~p \rightarrow ~q를 명제 p \rightarrow q의 ‘이(Inverse)’라고 하는데, ‘이’는 교육과정에서 중요하게 다루지 않지만, 역의 대우 또는 대우의 역 관계에 있어요.)
↔️ 명제의 역 (Converse): 가정과 결론 자리 바꾸기!
개념정리 172-1: p \rightarrow q ⇒ q \rightarrow p
명제 p \rightarrow q (“p이면 q이다”)에서 가정 p와 결론 q의 자리를 서로 바꾼 새로운 명제를 원래 명제의 역(Converse)이라고 해요.
즉, 명제 p \rightarrow q의 역은 q \rightarrow p (“q이면 p이다”) 입니다.
예시: (자연수 x에 대하여)
- 원래 명제: “x가 소수이면 x는 홀수이다.” (p \rightarrow q)
(가정 p: x는 소수이다. 결론 q: x는 홀수이다.) - 역: “x가 홀수이면 x는 소수이다.” (q \rightarrow p)
🎭 명제의 대우 (Contrapositive): 부정하고 자리 바꾸기!
개념정리 172-2: p \rightarrow q ⇒ ~q \rightarrow ~p
명제 p \rightarrow q (“p이면 q이다”)에서 가정 p와 결론 q를 각각 부정한 후(~p, ~q), 그 둘의 자리를 서로 바꾼 새로운 명제를 원래 명제의 대우(Contrapositive)라고 해요.
즉, 명제 p \rightarrow q의 대우는 ~q \rightarrow ~p (“q가 아니면 p가 아니다”) 입니다.
예시: (자연수 x에 대하여)
- 원래 명제: “x가 소수이면 x는 홀수이다.” (p \rightarrow q)
- 대우: “x가 홀수가 아니면(즉, x가 짝수이면) x는 소수가 아니다.” (~q \rightarrow ~p)
🔗 명제, 역, 대우 사이의 관계와 참/거짓
개념정리 172-3: 원래 명제와 대우는 운명 공동체!
명제 p \rightarrow q와 그 역 q \rightarrow p, 그리고 대우 ~q \rightarrow ~p 사이에는 다음과 같은 참/거짓 관계가 있어요.
- 원래 명제 p \rightarrow q와 그 대우 ~q \rightarrow ~p는 항상 참/거짓을 함께 한다!
→ 즉, p \rightarrow q가 참이면 ~q \rightarrow ~p도 반드시 참이고, p \rightarrow q가 거짓이면 ~q \rightarrow ~p도 반드시 거짓이에요. (운명 공동체!)
→ 이것은 두 명제의 진리집합 사이의 포함 관계를 생각해보면 알 수 있어요. P \subset Q \iff Q^c \subset P^c 이기 때문이죠! - 원래 명제 p \rightarrow q와 그 역 q \rightarrow p의 참/거짓 사이에는 특별한 관계가 없다!
→ 즉, 원래 명제가 참이라고 해서 그 역이 반드시 참이거나 거짓이라고 말할 수 없어요. (서로 다를 수 있음)
대우를 이용한 증명! 📜
원래 명제와 그 대우의 참/거짓이 항상 같다는 성질 때문에, 어떤 명제 p \rightarrow q가 참임을 직접 증명하기 어려울 때, 그 대우인 ~q \rightarrow ~p가 참임을 대신 증명해도 된답니다! 이것을 대우법이라고 하며, 매우 유용한 증명 방법 중 하나예요. (176번 포스팅에서 자세히!)
🧐 개념확인 문제: 역과 대우 말하기!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 명제의 역과 대우를 정확하게 말해봅시다!
다음 명제의 역과 대우를 각각 말하시오. (PDF Check 2 문제)
- x=2이면 x2=4이다.
- x > 1이면 x > 2이다.
정답 및 해설:
- 명제: “x=2이면 x2=4이다.”
가정(p): x=2 결론(q): x2=4
역 (q \rightarrow p): “x2=4이면 x=2이다.”
대우 (~q \rightarrow ~p): “x2 \ne 4이면 x \ne 2이다.“ - 명제: “x > 1이면 x > 2이다.”
가정(p): x > 1 결론(q): x > 2
역 (q \rightarrow p): “x > 2이면 x > 1이다.”
대우 (~q \rightarrow ~p): (x>2의 부정은 x \le 2, x>1의 부정은 x \le 1)
“x \le 2이면 x \le 1이다.“
가정과 결론을 정확히 구분하고, 부정할 때는 부등호 방향 등에 주의해야 해요! 😉
오늘은 명제 p \rightarrow q의 가정과 결론의 자리를 바꾸거나 부정하여 만드는 새로운 명제인 ‘역’과 ‘대우’에 대해 배웠습니다. 특히 원래 명제와 그 대우는 항상 참/거짓을 함께한다는 중요한 성질을 알게 되었죠? 이 성질은 명제의 참/거짓을 판단하거나 증명하는 데 매우 유용하게 사용된답니다. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 명제와 그 역, 대우의 참/거짓 관계를 더 자세히 살펴보겠습니다. 🧐