171 ‘모든’ 또는 ‘어떤’ 명제의 부정: 반대로 뒤집고, 조건도 부정! 🔄
안녕하세요, 논리의 반전을 즐기는 탐험가 친구들! 👋 지난 시간에는 “모든 x에 대하여 p(x)이다” 또는 “어떤 x에 대하여 p(x)이다”와 같이 한정사가 포함된 명제의 참/거짓을 판단하는 방법을 배웠어요. 오늘은 이처럼 ‘모든’이나 ‘어떤’이라는 말이 들어간 명제의 부정은 어떻게 만드는지 알아볼 거예요. 단순히 뒤에 “~가 아니다”만 붙이면 될까요? 아니에요! 한정사가 있는 명제의 부정에는 특별한 규칙이 있답니다. 함께 그 규칙을 마스터해 볼까요? 🕵️
📝 핵심만정리: ‘모든/어떤’ 명제의 부정 규칙!
‘모든’이나 ‘어떤’이 있는 명제의 부정은 다음과 같은 규칙을 따라요.
- 1. “모든 x에 대하여 p(x)이다”의 부정:
→ “어떤 x에 대하여 ~p(x)이다”
(즉, ‘모든’은 ‘어떤’으로 바뀌고, 조건 p(x)도 부정 ~p(x)로 바뀝니다.) - 2. “어떤 x에 대하여 p(x)이다”의 부정:
→ “모든 x에 대하여 ~p(x)이다”
(즉, ‘어떤’은 ‘모든’으로 바뀌고, 조건 p(x)도 부정 ~p(x)로 바뀝니다.)
마치 ‘모든’과 ‘어떤’이 서로 반대 역할을 하고, 조건 자체도 반대로 뒤집어준다고 생각하면 쉬워요!
🌍 → 🎯 “모든 x에 대하여 p(x)이다”의 부정
개념정리 171-1: “모든 것이 그렇다”의 반대는 “그렇지 않은 것이 적어도 하나 있다!”
명제 “모든 x에 대하여 p(x)이다”가 거짓이 되는 경우는 언제였죠? 바로 조건 p(x)를 만족하지 않는 x(반례)가 단 하나라도 존재할 때였어요.
이것을 다르게 표현하면, “어떤 x에 대하여 p(x)가 아니다 (즉, ~p(x)이다)”와 같은 의미가 됩니다.
따라서, 명제 “모든 x에 대하여 p(x)이다”의 부정은
“\text{어떤 x에 대하여 ~p(x)이다}“
가 됩니다.
예시:
어느 동호회 회원이 A, B 2명뿐일 때, 가능한 성별 조합은 (남,남), (남,여), (여,남), (여,여) 네 가지 경우가 있어요.
- 명제 p: “모든 회원은 남자이다.”
→ 이 명제가 참이려면 (남,남) 경우만 해당됩니다.
→ 이 명제의 부정 ~p는 “(남,여) 또는 (여,남) 또는 (여,여)”인 경우를 의미합니다.
→ 이것을 한 문장으로 표현하면 “여자인 회원이 (적어도 한 명) 있다.” 즉, “어떤 회원은 여자이다 (남자가 아니다).“가 됩니다.
🎯 → 🌍 “어떤 x에 대하여 p(x)이다”의 부정
개념정리 171-2: “하나라도 그렇다”의 반대는 “모두 그렇지 않다!”
명제 “어떤 x에 대하여 p(x)이다”가 거짓이 되는 경우는 언제였죠? 바로 조건 p(x)를 만족하는 x가 단 하나도 존재하지 않을 때, 즉 진리집합 P가 공집합일 때였어요.
조건 p(x)를 만족하는 x가 하나도 없다는 것은, “모든 x에 대하여 p(x)가 아니다 (즉, ~p(x)이다)”와 같은 의미가 됩니다.
따라서, 명제 “어떤 x에 대하여 p(x)이다”의 부정은
“\text{모든 x에 대하여 ~p(x)이다}“
가 됩니다.
🧐 개념확인 문제: ‘모든/어떤’ 명제의 부정 말하기!
이제 배운 규칙을 사용하여 주어진 명제의 부정을 정확하게 말해봅시다!
다음 명제의 부정을 말하시오. (PDF Check 문제)
- 임의의 실수 x에 대하여 x2 \ge 0이다. (‘임의의’는 ‘모든’과 같은 의미)
- 어떤 자연수 n에 대해서도 n2 \ge 1이다.
- 적당한 홀수 n에 대하여 n2은 짝수이다. (‘적당한’은 ‘어떤’과 같은 의미)
- n(n+1)이 홀수인 자연수 n이 존재한다. (‘존재한다’는 ‘어떤’과 같은 의미)
정답 및 해설:
- 명제: “모든 실수 x에 대하여 x2 \ge 0이다.”
부정: “어떤 실수 x에 대하여 x2 < 0이다.” (조건 x2 \ge 0의 부정은 x2 < 0) - 명제: “어떤 자연수 n에 대하여 n2 \ge 1이다.”
부정: “모든 자연수 n에 대하여 n2 < 1이다.” (조건 n2 \ge 1의 부정은 n2 < 1) - 명제: “어떤 홀수 n에 대하여 n2은 짝수이다.”
부정: “모든 홀수 n에 대하여 n2은 홀수이다 (짝수가 아니다).“ - 명제: “n(n+1)이 홀수인 어떤 자연수 n이 존재한다.”
부정: “모든 자연수 n에 대하여 n(n+1)은 짝수이다 (홀수가 아니다).“
부정을 만들 때는 ‘모든’ ↔ ‘어떤’으로 바꾸고, 뒤따르는 조건도 부정해주는 것을 잊지 마세요! 😉
오늘은 “모든 x에 대하여 p(x)이다”와 “어떤 x에 대하여 p(x)이다”와 같이 한정사가 포함된 명제의 부정을 만드는 규칙에 대해 배웠습니다. ‘모든’은 ‘어떤’으로, ‘어떤’은 ‘모든’으로 바뀌고, 뒤에 오는 조건 p(x)도 그 부정 ~p(x)로 바뀐다는 점이 핵심이었죠! 이 규칙은 논리적 사고를 정확하게 하는 데 매우 중요하답니다. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 명제 p \rightarrow q의 ‘역’과 ‘대우’에 대해 알아보겠습니다. 명제의 또 다른 변신! 🎭