• 명제 p \rightarrow q (p이면 q이다):
  • 두 조건 p, q로 이루어진 명제로, p를 가정, q를 결론이라고 해요.
• 명제 p \rightarrow q의 참/거짓:
  • 참일 때: 조건 p를 만족시키는 모든 것이 조건 q도 만족시키면 명제 p \rightarrow q는 참입니다. 기호로는 p \Rightarrow q와 같이 나타내요.
  • 거짓일 때: 조건 p를 만족시키지만 조건 q는 만족시키지 않는 예(반례)가 단 하나라도 존재하면 명제 p \rightarrow q는 거짓입니다. 기호로는 p \not\Rightarrow q와 같이 나타내요.
• 명제 p \iff q:
  • 명제 p \rightarrow q와 그 역인 명제 q \rightarrow p가 모두 참일 때, 즉 p \Rightarrow q이고 q \Rightarrow p일 때, 기호로 p \iff q와 같이 나타내요. (p와 q는 동치 또는 필요충분조건 관계)

개념정리 168-1: 두 조건을 연결하는 논리적 다리!

우리가 두 개의 조건 p와 q가 있을 때, 이 둘을 “만약 p라면, 그러면 q이다“라는 형태로 연결하여 하나의 문장이나 식으로 만들 수 있어요. 이것을 수학에서는 명제 “p이면 q이다“라고 하고, 기호로는 p \rightarrow q와 같이 나타냅니다.

이때,

• 조건 p를 이 명제의 가정(Hypothesis)이라고 하고,
• 조건 q를 이 명제의 결론(Conclusion)이라고 합니다.

예를 들어, “만약 x < 1 (가정 p)이면, x < 2 (결론 q)이다.”와 같은 형태가 바로 명제 p \rightarrow q입니다.

개념정리 168-2: 가정을 만족해도 결론이 안 되면 ‘거짓’!

명제 p \rightarrow q의 참 또는 거짓은 어떻게 판별할까요?

• 명제 p \rightarrow q가 참이다:
  가정 p를 만족하는 모든 경우에 대하여 결론 q도 항상 만족될 때, 이 명제는 참이라고 합니다.
  이때 기호로는 화살표를 두 줄로 그어 p \Rightarrow q와 같이 나타내기도 해요.
• 명제 p \rightarrow q가 거짓이다:
  가정 p는 만족하지만 (p는 참이지만), 결론 q는 만족하지 않는 (q는 거짓인) 경우가 단 하나라도 존재하면, 이 명제는 거짓이라고 합니다.
  이처럼 가정을 만족시키면서 결론을 만족시키지 않는 예를 그 명제의 반례(Counterexample)라고 불러요. 반례가 하나라도 발견되면 그 명제는 거짓이 됩니다.
  거짓일 때는 p \not\Rightarrow q와 같이 나타내기도 합니다.