161 명제란? 참과 거짓을 가릴 수 있는 문장이나 식! 🤔
안녕하세요, 논리적인 생각을 탐구하는 친구들! 👋 오늘부터 우리는 수학의 또 다른 중요한 분야인 ‘명제와 조건’에 대해 배울 거예요. 그 첫걸음으로, 수학에서 말하는 명제(Proposition)가 무엇인지 정확히 이해하는 시간을 가질 거예요. 일상생활에서 사용하는 문장이나 수학적인 식 중에서 어떤 것들이 명제가 될 수 있고, 어떤 것들은 명제가 될 수 없을까요? 그 기준은 바로 참(True) 또는 거짓(False)을 분명하게 판별할 수 있느냐에 있답니다! 함께 명제의 세계로 떠나볼까요? 🧐
📝 핵심만정리: 명제, 이것만 기억하세요!
- 명제 (Proposition):
- 참 또는 거짓을 객관적으로 분명하게 판별할 수 있는 문장이나 식.
- 명제는 보통 알파벳 소문자 p, q, r, …로 나타내요.
- 거짓인 문장이나 식도 명제가 될 수 있다는 점에 주의해야 해요! (참/거짓을 판별할 수만 있다면)
- 명제가 아닌 것:
- 참 또는 거짓을 판별할 수 없는 문장이나 식. (예: 주관적인 판단이 들어간 문장, 미지수의 값에 따라 참/거짓이 달라지는 문장이나 식 등)
🤔 명제란 무엇일까요? (참/거짓을 명확히!)
개념정리 161-1: 객관적인 판단 기준!
우리가 사용하는 많은 문장이나 수학적인 식들 중에서, 그 내용이 참인지 거짓인지를 명확하게 구분할 수 있는 것들을 특별히 명제라고 불러요.
즉, 어떤 문장이나 식이 명제가 되기 위한 핵심 조건은 바로 “참/거짓 판별 가능성”입니다. 누구나 똑같이 “이것은 참이다!” 또는 “이것은 거짓이다!”라고 객관적으로 판단할 수 있어야 해요.
명제의 예:
- “대한민국의 수도는 서울이다.” → 이것은 참인 명제입니다. (누구나 객관적으로 참이라고 판단 가능)
- “-1 > 0” → 이것은 거짓인 명제입니다. (누구나 객관적으로 거짓이라고 판단 가능)
- “3 – 2 = 5” → 이것은 거짓인 명제입니다.
- “π는 3보다 크다.” → 이것은 참인 명제입니다.
중요! 거짓인 문장이나 식도 그것이 거짓임을 명확히 판별할 수 있다면 명제가 될 수 있다는 점을 꼭 기억하세요!
🚫 명제 vs 명제가 아닌 것: 기준은 명확한 판별!
개념정리 161-2: 참/거짓을 가릴 수 없다면 명제가 아니에요!
그렇다면 어떤 문장이나 식이 명제가 될 수 없을까요? 바로 참인지 거짓인지 명확하게 판별할 수 없는 경우입니다.
명제가 아닌 것의 예:
- “장미꽃은 아름답다.” → ‘아름답다’는 기준은 사람마다 다를 수 있으므로 참/거짓을 객관적으로 판별할 수 없어요. 따라서 명제가 아닙니다.
- “키가 큰 학생들의 모임” → ‘키가 크다’는 기준이 명확하지 않아 명제가 아닙니다. (이것은 집합이 될 수 없는 조건과 유사하죠?)
- “x는 3의 배수이다.” → x의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하므로, x값이 정해지기 전에는 참/거짓을 판별할 수 없어요. 따라서 명제가 아닙니다. (이런 것은 ‘조건’이라고 불러요. 다음 시간에 자세히!)
- “x2 – 1 = 0” → 이것도 x의 값에 따라 참/거짓이 달라지므로 명제가 아닙니다.
이처럼 주관적인 판단이 들어가거나, 미지수의 값에 따라 참/거짓이 변하는 문장이나 식은 명제가 아니랍니다.
🧐 개념확인 문제: 명제인지 아닌지 판별하기!
이제 배운 내용을 바탕으로 다음 문장이나 식이 명제인지 아닌지, 명제라면 참인지 거짓인지 판별해 봅시다!
다음 중 명제인 것을 모두 찾고, 그것의 참, 거짓을 판별하시오. (PDF Check 문제)
- 2는 4의 배수이다.
- 장미꽃은 아름답다.
- 4 + 6 = 8
- x2 – 1 = 0
- π는 3보다 크다.
정답 및 해설:
- “2는 4의 배수이다.” → 거짓임을 명확히 판별할 수 있으므로 거짓인 명제입니다.
- “장미꽃은 아름답다.” → ‘아름답다’는 기준이 주관적이므로 참/거짓을 판별할 수 없어 명제가 아닙니다.
- “4 + 6 = 8” → 4+6=10이므로, 10=8은 거짓입니다. 거짓임을 명확히 판별할 수 있으므로 거짓인 명제입니다.
- “x2 – 1 = 0” → x의 값에 따라 참/거짓이 달라지므로 (예: x=1이면 참, x=2이면 거짓) 명제가 아닙니다. (조건입니다.)
- “π는 3보다 크다.” → π \approx 3.14159…이므로 참입니다. 참임을 명확히 판별할 수 있으므로 참인 명제입니다.
어떤 문장이나 식이 주어졌을 때, 그것이 참인지 거짓인지 “객관적으로 판별할 수 있는가?”를 기준으로 명제 여부를 판단하는 것이 중요해요! 😉
오늘은 수학적 논리의 기본 단위가 되는 ‘명제’의 정확한 뜻에 대해 배웠습니다. 핵심은 그 내용의 참 또는 거짓을 분명하게 판별할 수 있어야 한다는 것이었죠! 거짓인 내용도 명확히 거짓이라고 판단할 수 있다면 명제가 된다는 점도 중요했습니다. 이 명제의 개념은 앞으로 배울 조건, 명제의 연산, 증명 등 다양한 논리적 사고의 기초가 된답니다. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 명제를 부정하는 것, 즉 ‘명제의 부정’에 대해 알아보겠습니다. 🤔