전체집합 U가 유한집합일 때, 두 부분집합 A, B에 대하여 다음 공식들이 성립해요.

• 1. 여집합 A^c의 원소의 개수:
  n(A^c) = n(U) – n(A)
  (전체에서 A의 개수를 빼면 A가 아닌 것들의 개수!)
• 2. 차집합 A-B의 원소의 개수:
  두 가지 방법으로 구할 수 있어요.
  • n(A-B) = n(A) – n(A ∩ B) (A의 개수에서 A와 B의 공통부분 개수를 빼기!)
  • n(A-B) = n(A ∪ B) – n(B) (A와 B의 합집합 개수에서 B의 개수 빼기!)
  
  – 특히, B ⊂ A이면 A ∩ B = B이므로, 이때는 n(A-B) = n(A) – n(B)가 됩니다. (하지만 일반적으로는 n(A-B) \ne n(A) – n(B)임을 주의해야 해요! )

개념정리 160-1: 전체에서 ‘나’를 빼면 ‘내가 아닌 것’!

전체집합 U의 부분집합 A에 대하여, A의 여집합 A^c는 U의 원소 중에서 A에 속하지 않는 원소들의 모임이죠. 따라서 A^c의 원소의 개수를 구하려면, 전체집합 U의 원소의 개수에서 집합 A의 원소의 개수를 빼주면 됩니다.

집합 A와 그 여집합 A^c는 서로 공통된 원소가 없고(A ∩ A^c = ∅), 이 둘을 합치면 전체집합 U가 되므로(A ∪ A^c = U), 원소의 개수 관계는 다음과 같습니다.

n(U) = n(A ∪ A^c) = n(A) + n(A^c)

이 식을 n(A^c)에 대해 정리하면,

n(A^c) = n(U) – n(A)

가 됩니다.

개념정리 160-2: A에서 공통부분만 쏙!

두 집합 A와 B의 차집합 A-B는 집합 A의 원소 중에서 집합 B에 속하는 원소를 제외한 나머지 원소들의 모임이에요. 즉, A에만 속하는 순수한 부분이죠.

벤다이어그램에서 보면, 집합 A는 (A-B) 부분과 (A ∩ B) 부분으로 나뉘고, 이 두 부분은 서로 공통 원소가 없어요. 따라서 원소의 개수는 다음과 같이 생각할 수 있습니다.

n(A) = n(A-B) + n(A ∩ B)

이 식을 n(A-B)에 대해 정리하면,

n(A-B) = n(A) – n(A ∩ B)

가 됩니다.

또한, A ∪ B는 (A-B), (B-A), (A ∩ B) 세 부분으로 나뉘므로, n(A ∪ B) = n(A-B) + n(B-A) + n(A ∩ B) 입니다. 여기서 n(B) = n(B-A) + n(A ∩ B)이므로, 다음과 같은 관계도 성립해요.

n(A-B) = n(A ∪ B) – n(B)