세 유한집합 A, B, C에 대하여 합집합의 원소의 개수는 다음과 같이 구해요.

• 1. 두 집합 A, B의 합집합 원소의 개수 (n(A ∪ B)):
  n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
  (A 개수 더하기 B 개수, 그리고 겹치는 부분(교집합) 한 번 빼주기!)
  – 특히, A와 B가 서로소 (A ∩ B = ∅)이면 n(A ∩ B) = 0이므로,
     n(A ∪ B) = n(A) + n(B)가 됩니다.
• 2. 세 집합 A, B, C의 합집합 원소의 개수 (n(A ∪ B ∪ C)):
  n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
  (각각 더하고, 둘씩 겹치는 부분 빼고, 세 개 모두 겹치는 부분 다시 더해주기!)

이 공식들을 무작정 외우기보다는 벤다이어그램을 그려서 각 영역이 몇 번 더해지고 빠지는지 생각해보는 것이 좋아요!

개념정리 159-1: 겹치는 부분은 한 번만!

두 유한집합 A와 B의 합집합 A ∪ B의 원소의 개수를 구한다고 생각해 봅시다. 만약 단순히 n(A)와 n(B)를 더하기만 하면 어떻게 될까요?

위 그림처럼, 두 집합에 공통으로 속하는 원소들, 즉 교집합 A ∩ B의 원소들은 n(A)를 셀 때도 포함되고 n(B)를 셀 때도 포함되어 두 번 세어지게 됩니다.

따라서 합집합의 정확한 원소의 개수를 구하려면, 두 집합의 원소의 개수를 각각 더한 후, 두 번 세어진 교집합의 원소의 개수를 한 번 빼주어야 합니다.

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

만약 두 집합 A와 B가 서로소여서 공통된 원소가 하나도 없다면 (A ∩ B = ∅), n(A ∩ B) = 0이 되므로 이때는 그냥 n(A ∪ B) = n(A) + n(B)가 됩니다.

개념정리 159-2: 포함-배제의 원리 확장!

세 유한집합 A, B, C의 합집합 A ∪ B ∪ C의 원소의 개수는 어떻게 구할까요? 두 집합일 때와 비슷한 원리(포함-배제의 원리)를 확장하여 생각할 수 있어요.

먼저 각 집합의 원소의 개수를 모두 더합니다: n(A) + n(B) + n(C)

이렇게 하면 두 집합씩 겹치는 부분들(A∩B, B∩C, C∩A)은 두 번씩 더해졌고, 세 집합 모두에 겹치는 부분(A∩B∩C)은 세 번 더해졌어요.

그래서 두 집합씩 겹치는 부분의 원소 개수를 한 번씩 빼줍니다: – n(A∩B) – n(B∩C) – n(C∩A)

그런데 이렇게 하면, 세 집합 모두에 겹치는 부분(A∩B∩C)은 처음 세 번 더해졌다가, 두 개씩 겹치는 부분을 뺄 때 세 번 모두 빠져버려서 결국 한 번도 안 더해진 셈이 돼요!

따라서 마지막으로 세 집합 모두에 겹치는 부분의 원소 개수를 한 번 더해주어야 합니다: + n(A∩B∩C)

결과적으로 세 집합의 합집합의 원소 개수 공식은 다음과 같습니다:

n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) – n(A∩B) – n(B∩C) – n(C∩A) + n(A∩B∩C)