156 드모르간의 법칙: 합집합/교집합의 여집합, 이렇게 변신! 🦇
안녕하세요, 집합 연산의 마법사 친구들! 👋 집합의 여집합(Ac)은 전체집합 U에서 A를 제외한 나머지 부분이었죠? 오늘은 이 여집합이 합집합(∪)이나 교집합(∩)과 만났을 때 어떤 신비로운 변신을 하는지 알아볼 거예요. 바로 드모르간의 법칙(De Morgan’s Laws)이라는 아주 유명하고 중요한 규칙이랍니다! 이 법칙은 마치 여집합 기호 c가 괄호 안으로 쏙 들어가면서 합집합은 교집합으로, 교집합은 합집합으로 바꾸는 마법과 같아요! 함께 그 비밀을 파헤쳐 볼까요? 💫
📝 핵심만정리: 드모르간의 법칙, 두 가지 마법 주문!
전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 다음과 같은 드모르간의 법칙이 성립해요.
- (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
→ (A 또는 B가 아닌 것) = (A가 아니고 그리고 B도 아닌 것) - (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
→ (A 그리고 B 둘 다인 것이 아닌 것) = (A가 아니거나 또는 B가 아닌 것)
마치 괄호 밖의 여집합 기호 c가 각각의 집합에 적용되면서 가운데 연산 기호(∪, ∩)가 반대로 뒤집히는 것처럼 보이죠?
이 법칙은 세 개 이상의 집합에 대해서도 확장하여 적용할 수 있어요.
(예: (A ∪ B ∪ C)c = Ac ∩ Bc ∩ Cc)
🤔 드모르간의 법칙이란 무엇일까요? (여집합과 연산의 만남!)
개념정리 156-1: 괄호 밖의 ‘아니다’는 어떻게 될까?
드모르간의 법칙은 영국의 수학자 오거스터스 드 모르간(Augustus De Morgan)의 이름을 딴 법칙으로, 집합의 합집합 또는 교집합 전체에 대한 여집합을 각 집합의 여집합과 다른 연산으로 표현할 수 있게 해주는 매우 유용한 규칙이에요.
쉽게 말해, “A 또는 B 전체가 아니다”라는 말은 “A도 아니고 그리고 B도 아니다”라는 말과 같고, “A 그리고 B 둘 다인 것은 아니다”라는 말은 “A가 아니거나 또는 B가 아니다”라는 말과 같다는 것을 수학적으로 표현한 것이랍니다.
이 법칙을 이용하면 복잡하게 얽힌 집합의 연산을 더 간단한 형태로 바꾸거나, 특정 조건을 만족하는 영역을 다른 방식으로 표현할 때 매우 편리하게 사용할 수 있습니다.
🎨 벤다이어그램으로 이해하는 드모르간의 법칙!
개념정리 156-2: 그림으로 보면 명확해져요!
드모르간의 법칙이 왜 성립하는지 벤다이어그램을 통해 시각적으로 확인해 봅시다.
1. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc 확인하기
오른쪽: U 안에 A, B를 그리고 Aᶜ 영역과 Bᶜ 영역을 각각 다른 빗금으로 표시한 후, 두 빗금이 겹치는 영역 Aᶜ∩Bᶜ을 강조한 그림. (두 결과 영역이 같음을 보여줌)
- 좌변 (A ∪ B)c: A와 B를 합친 부분(A ∪ B)의 바깥쪽 나머지 영역을 의미해요.
- 우변 Ac ∩ Bc: A가 아닌 부분(Ac)과 B가 아닌 부분(Bc)의 공통된 영역을 의미해요.
벤다이어그램으로 그려보면 이 두 영역이 정확히 일치함을 알 수 있습니다!
2. (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc 확인하기
오른쪽: U 안에 A, B를 그리고 Aᶜ 영역과 Bᶜ 영역을 각각 다른 빗금으로 표시한 후, 두 빗금 영역을 모두 합친 Aᶜ∪Bᶜ을 강조한 그림. (두 결과 영역이 같음을 보여줌)
- 좌변 (A ∩ B)c: A와 B의 공통부분(A ∩ B)을 제외한 나머지 모든 영역을 의미해요.
- 우변 Ac ∪ Bc: A가 아닌 부분(Ac)과 B가 아닌 부분(Bc)을 모두 합친 영역을 의미해요.
이 경우도 벤다이어그램으로 그려보면 두 영역이 정확히 일치함을 확인할 수 있습니다!
🧐 개념확인 문제: 드모르간의 법칙 적용하기!
이제 배운 드모르간의 법칙을 이용해서 주어진 집합 연산을 간단히 해봅시다!
1. 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 (A ∪ B) ∩ (Ac ∩ Bc)를 간단히 하시오. (PDF Check 문제 (1))
2. 전체집합 U = {1,2,3,4,5,6,7,8}의 두 부분집합 A, B에 대하여 A ∩ B = {3}, A ∩ Bc = {1,6}, Ac ∩ Bc = {2,8}일 때, 집합 B를 구하시오. (PDF Check 문제 (2))
정답 및 해설:
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(A ∪ B) ∩ (Ac ∩ Bc)
드모르간의 법칙에 의해 Ac ∩ Bc = (A ∪ B)c 입니다.
따라서 주어진 식은 (A ∪ B) ∩ (A ∪ B)c가 됩니다.
어떤 집합과 그 여집합의 교집합은 항상 공집합이므로 (X ∩ Xc = ∅),
∅ 입니다.
-
주어진 조건들을 해석해 봅시다:
- A ∩ B = {3} (A와 B의 공통부분)
- A ∩ Bc = A – B = {1,6} (A에만 속하는 부분)
- Ac ∩ Bc = (A ∪ B)c = {2,8} (A에도 B에도 속하지 않는 부분, 즉 A와 B 바깥 부분)
전체집합 U = {1,2,3,4,5,6,7,8} 입니다.
벤다이어그램을 그려서 각 영역에 원소를 채워봅시다.
U, A, B 벤다이어그램. A∩B에 3, A-B에 1,6, (A∪B)ᶜ에 2,8을 표시한 그림.– A ∩ B 영역에 3을 씁니다.
– A – B 영역에 1, 6을 씁니다.
– (A ∪ B)c 영역 (A와 B의 바깥)에 2, 8을 씁니다.
이제 전체집합 U의 원소 중 아직 배치되지 않은 원소들을 찾아봅시다.
U = {1,2,3,4,5,6,7,8} 에서 사용된 원소는 {1,2,3,6,8} 입니다.
남은 원소는 {4,5,7} 입니다. 이 원소들은 B-A 영역 (B에만 속하는 부분)에 들어가야 합니다.따라서 집합 B는 (A ∩ B) 영역과 (B-A) 영역의 원소들을 모두 합한 것이므로,
B = {3, 4, 5, 7} 입니다.
드모르간의 법칙은 복잡한 여집합 연산을 간단하게 만들어주는 아주 유용한 도구예요! 😉
오늘은 합집합 또는 교집합 전체에 대한 여집합을 각 집합의 여집합과 다른 연산으로 변환할 수 있게 해주는 드모르간의 법칙에 대해 배웠습니다. (A \cup B)^c = A^c \cap B^c 그리고 (A \cap B)^c = A^c \cup B^c 라는 두 가지 형태를 벤다이어그램을 통해 직관적으로 이해할 수 있었죠? 이 법칙은 집합의 연산을 다루는 다양한 문제에서 매우 중요하게 활용되니 꼭 기억해두세요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 특강에서는 ‘대칭차집합’이라는 특별한 집합 연산에 대해 알아보겠습니다. 🎨