세 점의 좌표로 삼각형 넓이 구하는 5가지 방법
좌표평면 위 세 점 \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), \(C(x_3, y_3)\)가 주어졌을 때,
상황에 맞는 최적의 풀이법을 찾아보세요.
1. 신발끈 공식 (Shoelace Formula) – 추천 ★
객관식 문제나 빠른 계산이 필요할 때 가장 강력한 도구입니다. ‘사선식’이라고도 불립니다.
$$ \text{Area} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) – (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1) | $$
계산 방법
- 좌표를 세로로 나열하되, 맨 처음에 쓴 좌표를 맨 아래에 한 번 더 씁니다.
- 오른쪽 아래 대각선(↘)끼리 곱해서 모두 더합니다 (A).
- 왼쪽 아래 대각선(↙)끼리 곱해서 모두 더합니다 (B).
- 두 값의 차이 \(|A – B|\)에 \(\frac{1}{2}\)을 곱합니다.
2. 평행이동을 이용한 간편 공식
신발끈 공식의 응용입니다. 세 점 중 하나를 원점 \((0,0)\)으로 평행이동시키면 계산량이 확 줄어듭니다.
계산 단계
- 한 점 \(A(x_1, y_1)\)을 원점으로 보낸다고 생각하고, 모든 점에서 \(x_1, y_1\)을 뺍니다.
- 이동된 두 점을 \((X_1, Y_1)\), \((X_2, Y_2)\)라고 합시다.
- 아래 공식에 대입합니다. (외항의 곱과 내항의 곱의 차)
$$ \text{Area} = \frac{1}{2} | X_1Y_2 – X_2Y_1 | $$
3. 밑변과 높이를 이용한 정석 방법
고등학교 서술형 주관식 문제에서 풀이 과정을 요구할 때 사용하는 교과서적인 방법입니다.
계산 단계
- 밑변 길이: 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
\(\text{Base} = \sqrt{(x_3-x_2)^2 + (y_3-y_2)^2}\) - 직선의 방정식: 밑변이 되는 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
\(ax + by + c = 0\) - 높이: 나머지 한 점과 직선 사이의 거리 공식을 사용합니다.
\(h = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) - 최종: \(\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{Base} \times h\)
4. 직사각형 박스법 (격자법)
공식이 기억나지 않거나 초/중등 과정, 혹은 좌표가 정수일 때 직관적으로 풀기 좋습니다.
- 세 점을 모두 포함하는, 축에 평행한 가장 작은 직사각형을 그립니다.
- 전체 직사각형의 넓이를 구합니다.
- 삼각형 바깥쪽에 생기는 3개의 직각삼각형 넓이를 전체에서 뺍니다.
5. 헤론의 공식 (Heron’s Formula)
세 변의 길이를 먼저 구한 뒤 넓이를 구하는 방법입니다. 변의 길이가 정수일 때는 유용하지만, 무리수가 나오면 계산이 복잡해집니다.
$$ s = \frac{a + b + c}{2} $$
$$ \text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$
$$ \text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$
요약 및 추천
| 상황 | 추천 방법 | 이유 |
|---|---|---|
| 빠른 정답 도출 | 신발끈 공식 | 가장 빠르고 실수가 적음 |
| 암산 필요 | 평행이동 | 0이 포함되어 계산이 단순함 |
| 서술형 평가 | 밑변과 높이 | 논리적인 과정 증명 가능 |
| 초/중등 과정 | 박스법 | 도형의 기본 성질만 이용 |
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