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라이트쎈 공통수학 10단원 무리식과 무리함수 (그래프, 역함수 꿀팁)

라이트쎈 공통수학 10단원 무리식과 무리함수 (핵심 공식+꿀팁 총정리)

안녕하세요! 📚 라이트쎈 공통수학으로 열공하는 학생 여러분! 09단원 ‘유리함수’에 이어, 그 짝꿍인 **’10단원 무리식과 무리함수’**입니다.

무리함수는 유리함수와 ‘역함수’ 관계에 있는 경우가 많아 (이차함수의 반쪽) 항상 세트로 출제됩니다. 이 단원은 **’시작점’**, **’그래프의 방향’**, 그리고 **’직선과의 위치 관계’** 3가지만 잡으면 끝입니다!

라이트쎈 B, C단계의 킬러 유형인 ‘위치 관계’ 문제의 함정까지 모두 정리해 드립니다.

1. 무리식의 기본 ($\sqrt{A} \ge 0$)

무리함수를 배우기 전, ‘무리식’이 실수 값을 갖기 위한 조건을 알아야 합니다.

1-1. 무리식이 실수가 될 조건 (★정의역의 기초★)

(루트 안) $\ge 0$, (분모) $\neq 0$ 이 두 가지만 기억하면 됩니다.

✅ $\sqrt{A}$ 가 실수 $\implies A \ge 0$
✅ $\frac{1}{\sqrt{A}}$ 가 실수 $\implies A > 0$ (분모는 0이 될 수 없으므로)

1-2. 분모의 유리화

무리식 계산의 기본입니다. 라이트쎈에서는 주로 $\frac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$ 꼴의 연쇄 계산(부분분수처럼)이 나옵니다.

$$ \frac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{(\sqrt{A})^2 – (\sqrt{B})^2} = \frac{C (\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A-B} $$

2. 무리함수 그래프 (★단원 핵심: 시작점과 방향★)

무리함수 그래프는 **’시작점’**에서 **’정해진 4방향’** 중 하나로 뻗어 나가는 곡선입니다.

2-1. 표준형 $y = a\sqrt{b(x-p)} + q$ (★필수 암기★)

이 형태로 바꿔야 ‘시작점’과 ‘방향’을 한눈에 알 수 있습니다.

✅ **시작점:** (루트 안이 0이 되는 $x$값, 뒤에 붙은 $y$값) $$ (p, q) $$
✅ **정의역:** $b(x-p) \ge 0$ (루트 안 $\ge 0$)
✅ **치역:** $a\sqrt{\dots} \ge 0$ 이므로 $y$는 $q$를 기준으로 위/아래가 결정됨.

2-2. 그래프의 4방향 ($a, b$의 부호)

$y=a\sqrt{bx}$ 꼴에서 $a$는 y방향(위/아래), $b$는 x방향(오른쪽/왼쪽)을 결정합니다.

$y = \sqrt{x}$ ($a>0, b>0$): [1사분면 방향] (시작점에서 우상향)
$y = \sqrt{-x}$ ($a>0, b<0$): [2사분면 방향] (시작점에서 좌상향)
$y = -\sqrt{-x}$ ($a<0, b<0$): [3사분면 방향] (시작점에서 좌하향)
$y = -\sqrt{x}$ ($a<0, b>0$): [4사분면 방향] (시작점에서 우하향)

3. 무리함수의 역함수 (vs 이차함수)

08단원에서 배운 역함수입니다. 무리함수의 역함수는 **이차함수의 반쪽**입니다.

🍯 꿀팁: 무리함수 역함수 서술형 꿀팁

무리함수 $y = \sqrt{x-p} + q$ 의 역함수를 구할 때, $x$와 $y$를 바꿔서 $y = (x-q)^2 + p$ (이차함수)라고만 쓰면 **무조건 감점**입니다.

[핵심!] 원래 함수의 **치역($y \ge q$)**이 역함수의 **정의역($x \ge q$)**이 됩니다.

$\implies$ 정답: $y = (x-q)^2 + p$ (단, $x \ge q$)
(이차함수의 ‘오른쪽 반쪽’만 그려야 합니다!)

4. 무리함수와 직선의 위치 관계 (★킬러 유형★)

라이트쎈 C단계 단골 킬러 문항입니다. (예: $y=\sqrt{x-1}$ 과 $y=x+k$ 의 교점 개수)

풀이 순서는 [1. 양변 제곱] $\to$ [2. 판별식]이지만, **’판별식의 함정’**에 빠지면 안 됩니다.

🍯 꿀팁: “판별식 $D$를 맹신하지 마라!” (무연근)

무리함수를 제곱하면 ‘이차함수의 반쪽’이 ‘온전한 이차함수’로 변하면서, 존재하지 않는 아래쪽 반(무연근)과의 교점까지 계산됩니다.

[필승 풀이법]

[그래프 그리기] 무리함수의 시작점과 직선을 그립니다.
[기준점 1: $D=0$] 판별식 $D=0$을 사용하여 ‘접할 때’의 $k$값을 구합니다.
[기준점 2: 시작점] 직선이 ‘시작점’을 지날 때의 $k$값을 구합니다.

$\implies$ $k$값이 이 두 기준점을 경계로 교점의 개수(0, 1, 2개)가 달라집니다. 그래프를 보고 판단해야 절대 틀리지 않습니다!

🌟 여러분과의 약속: 지속적인 업데이트! 🌟

이 포스팅은 여러분의 **라이트쎈 공통수학** 학습을 끝까지 돕기 위해 아래 자료들을 **지속적으로 업데이트할 것을 약속드립니다.**

[유형별 풀이 동영상] 라이트쎈 B/C단계 ‘직선과의 위치 관계’ (판별식 함정) 킬러 문항 풀이 (업데이트 예정)
[심화 개념] ‘무리함수와 역함수의 교점’ ($y=x$ 활용) 꿀팁 (지속 추가)
[오답노트 가이드] ‘역함수 정의역’ 서술형 감점 피하는 법 (업데이트 예정)

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무리함수는 ‘시작점’을 찍고 ‘방향’만 그리면 끝입니다! 라이트쎈 공통수학의 모든 문제를 그래프로 해결하는 연습을 해보세요! 🔥