방정식 f(x, y) = 0이 나타내는 도형을

• x축의 방향으로 a만큼,
• y축의 방향으로 b만큼

평행이동한 도형의 방정식은 원래 방정식의 x 대신 (x-a)를, y 대신 (y-b)를 대입하여 얻을 수 있어요.

즉, 평행이동 (x,y) \rightarrow (x+a, y+b)에 의하여 도형 f(x,y)=0은 도형 f(x-a, y-b)=0으로 옮겨집니다. 점의 평행이동과 부호가 반대인 것처럼 보이지만, 그 이유를 알면 당연한 결과랍니다!

개념정리 136-1: 더하기 vs 빼기?

점의 평행이동과 도형의 평행이동은 결과적으로 같은 움직임을 나타내지만, 식에 적용하는 방식에서 차이가 있는 것처럼 보여요.

• 점 P(x,y)의 평행이동: x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 평행이동하면
  → P'(x+a, y+b) (이동한 만큼 더한다)
• 도형 f(x,y)=0의 평행이동: x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 평행이동하면
  → f(x–a, y–b)=0 (x 대신 x-a, y 대신 y-b를 대입한다. 즉, 부호가 반대인 것을 뺀다)

왜 도형의 평행이동에서는 부호가 반대로 들어가는 것처럼 보일까요? 그 이유는 다음 ‘공식 유도’에서 자세히 알아볼게요!

개념정리 136-2: 새로운 좌표와 원래 좌표의 관계!

방정식 f(x,y)=0이 나타내는 도형 위의 임의의 한 점을 P(x,y)라고 합시다. 이 점 P를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 점을 P'(x’, y’)이라고 할게요.

점의 평행이동 규칙에 따라 다음 관계가 성립해요:

x’ = x + a

y’ = y + b

우리가 구하려는 것은 평행이동된 도형 위의 점 P'(x’, y’)이 만족하는 방정식, 즉 x’과 y’ 사이의 관계식입니다.
위의 관계식에서 원래 좌표 x, y에 대해 정리하면:

x = x’ – a

y = y’ – b

그런데 점 P(x,y)는 원래 도형 f(x,y)=0 위의 점이므로, 이 방정식에 x = x’-a와 y = y’-b를 대입하면 성립해야 해요.

f(x’ – a, y’ – b) = 0

이것이 바로 평행이동된 도형 위의 점 P'(x’,y’)이 만족하는 방정식입니다! 이제 x’, y’을 일반적인 좌표 변수 x, y로 바꾸어 써주면, 평행이동된 도형의 방정식은 다음과 같이 됩니다.

f(x – a, y – b) = 0

결국, 도형을 x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 평행이동시키려면, 원래 도형의 방정식에서 x 자리에 (x-a)를, y 자리에 (y-b)를 대신 넣어주면 되는 것이죠! 부호가 반대로 들어가는 이유, 이제 알겠죠?