[쎈 대수] 1단원 55번 풀이 – 네 수 A, B, C, D 대소 비교 완벽 정리 (빼서 비교하기)

안녕하세요! 오늘은 쎈 대수 1단원 55번(상/서술형) 문제를 다뤄보겠습니다.

보기만 해도 어지러운 $A, B, C, D$ 네 개의 숫자가 등장합니다. 이걸 대충 1.414… 대입해서 풀려고 하면 계산 실수가 나오기 딱 좋습니다. 수학적으로 가장 확실한 방법인 [두 수의 차]를 이용해 논리적으로 풀어봅시다.

Phase 1. 사전 준비 (이게 제일 중요!)

본격적인 비교에 앞서, 문제에 계속 등장하는 두 주인공 $\sqrt[3]{3}$과 $\sqrt{2}$의 승부를 먼저 가려야 합니다. 그래야 뺐을 때 양수인지 음수인지 알 수 있으니까요.

거듭제곱근의 껍데기($n$)를 통일해 줍니다. 2와 3의 최소공배수인 6으로 맞춰볼까요?

자, 이제 “세제곱근 3이 루트 2보다 더 크다”는 팩트를 무기 삼아 전쟁터로 들어갑니다.

Phase 2. 토너먼트 대결 (빼서 비교하기)

네 수를 한 번에 비교할 순 없습니다. 두 개씩 짝지어 싸움을 붙여봅시다.

🥊 Round 1. A vs B

두 식을 빼봅시다. 동류항끼리 계산하는 것이 핵심입니다.

🥊 Round 2. C vs D

나머지 두 녀석도 빼봅시다.

🥊 Round 3. B vs D (중위권 싸움)

지금까지 결과는 $A$가 $B$보다 크고, $D$가 $C$보다 큽니다. 그렇다면 중간에 낀 $B$와 $D$는 누가 더 클까요?

지금까지의 결과를 종합하면 전체 순위가 나옵니다.

$$ C < D < B < A $$

Phase 3. 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합

이제 마무리 계산만 남았습니다.

• 🥇 가장 큰 수(Max): $A = 2\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}$
• 꼴찌 가장 작은 수(Min): $C = 3\sqrt{2} – 2\sqrt[3]{3}$

이 둘을 더하면 복잡했던 세제곱근 부분이 사라지는 마법을 볼 수 있습니다.

정답: $4\sqrt{2}$

이 문제, 처음엔 복잡해 보였지만 $\sqrt[3]{3} > \sqrt{2}$ 라는 기준 하나를 잡고 나니 실타래처럼 풀렸죠?

항상 무리수 대소 비교 문제가 나오면 “일단 빼보자!”라는 태도를 가지시길 바랍니다. 도움이 되셨다면 댓글 부탁드려요!