[쎈 대수] 1단원 52번 풀이 – 함수 R(a, n) 정의와 거듭제곱근의 성질 (ㄱ,ㄴ,ㄷ 진위 판별)

안녕하세요! 오늘은 쎈 대수 1단원 52번(상) 문제를 같이 풀어보겠습니다.

문제에서 처음 보는 기호 $R(a, n)$이 나와서 당황하셨나요? 이런 유형을 ‘새롭게 정의된 연산’ 문제라고 하는데요. 쫄지 말고(?) 문제에서 시키는 대로 우리가 아는 기호($\sqrt{}$)로 바꿔서 풀면 됩니다.

🎯 이 문제의 핵심 포인트
① $R(a, n)$을 $\sqrt[n]{a}$로 정확히 번역할 수 있는가?
② 거듭제곱근의 성질 중, 거듭제곱의 거듭제곱($\sqrt[n]{\sqrt[n]{a}}$) 계산을 실수 없이 할 수 있는가?

우선 문제에서 준 정의를 우리가 익숙한 형태로 바꿔봅시다.

$$ R(a, n) = \sqrt[n]{a} $$

즉, “오른쪽 숫자($n$) 제곱근 왼쪽 숫자($a$)”라는 뜻입니다. 이제 보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ을 하나씩 검증해볼까요?

좌변과 우변을 각각 거듭제곱근 형태로 바꿔서 비교해 봅시다.

🔍 ㄱ 풀이 확인하기

(좌변) $R(2, 4) = \sqrt[4]{2}$

(우변) $R(\sqrt{2}, 2) = \sqrt[2]{\sqrt{2}}$

거듭제곱근의 성질 $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ 에 의해,

$$ \sqrt[2]{\sqrt{2}} = \sqrt[2 \times 2]{2} = \sqrt[4]{2} $$

좌변과 우변이 똑같죠? 따라서 참(True)입니다.

많은 학생들이 여기서 실수를 합니다. $a$를 세 번 더한 것($3a$)과 세 번 곱한 것($a^3$)을 헷갈리면 안 됩니다.

🔍 ㄴ 풀이 확인하기 (함정 주의!)

(좌변)

$$ R(a, 3) \times R(a, 3) \times R(a, 3) = (\sqrt[3]{a})^3 $$

$\sqrt[3]{a}$를 3번 곱했으므로 그냥 $a$가 됩니다.

(우변)

$$ R(3a, 3) = \sqrt[3]{3a} $$

결론: $a \neq \sqrt[3]{3a}$ 이므로 거짓(False)입니다.

* Tip: 만약 우변이 $R(a^3, 3)$ 이었다면 참이었을 것입니다.

이 보기는 거듭제곱근의 인덱스(조그만 숫자)를 곱할 것이냐 더할 것이냐를 묻는 문제입니다.

🔍 ㄷ 풀이 확인하기

(좌변) $R(a, n)$을 다시 $R(\dots, n)$에 넣습니다.

$$ R(\sqrt[n]{a}, n) = \sqrt[n]{\sqrt[n]{a}} $$

이중 근호 성질에 의해 앞의 $n$과 뒤의 $n$을 곱해야 합니다.

$$ = \sqrt[n \times n]{a} = \sqrt[n^2]{a} $$

(우변)

$$ R(a, 2n) = \sqrt[2n]{a} $$

결론: $n^2$과 $2n$은 다르죠? 따라서 거짓(False)입니다.

* Tip: 예를 들어 $n=3$이라면 좌변은 9제곱근, 우변은 6제곱근이 됩니다.