원 위의 점 (x₁, y₁)에서의 접선의 방정식은 원의 방정식 형태에 따라 다음과 같아요.

• 1. 원 x² + y² = r² 위의 점 (x₁, y₁)에서의 접선의 방정식:
  x₁x + y₁y = r²
• 2. 원 (x-a)² + (y-b)² = r² 위의 점 (x₁, y₁)에서의 접선의 방정식:
  (x₁-a)(x-a) + (y₁-b)(y-b) = r²
• 3. 원 x² + y² + Ax + By + C = 0 위의 점 (x₁, y₁)에서의 접선의 방정식:
  x₁x + y₁y + A1+x}{2} + B1+y}{2} + C = 0

암기 꿀팁! 이 공식들은 원의 방정식에 다음과 같이 대입하여 얻을 수 있어요.

• x² → x₁x
• y² → y₁y
• x → ^(x₁+x)⁄₂
• y → ^(y₁+y)&frasL;₂
• 상수항은 그대로!

이 대입 규칙만 기억하면 세 가지 공식을 일일이 외울 필요가 없답니다!

개념정리 130-1: 접점에서의 수직 관계!

원 위의 한 점 P(x₁, y₁)에서 그 원에 그은 접선은 그 점 P를 지나면서 원과 오직 한 점에서만 만나는 직선을 의미해요. 이 점 P를 접점이라고 부릅니다.

원의 접선에서 아주 중요한 성질 중 하나는, 원의 중심과 접점을 이은 반지름(또는 선분)은 그 접점에서 접선과 항상 수직으로 만난다는 것이에요. 이 수직 관계가 바로 원 위의 점에서의 접선의 방정식을 유도하는 핵심 열쇠가 된답니다!

개념정리 130-2: 수직 조건과 점-기울기 형태 활용!

가장 기본적인 형태인 원 x² + y² = r² (중심이 원점 O(0,0), 반지름 r) 위의 점 P(x₁, y₁)에서의 접선의 방정식을 유도해 봅시다.

경우 1: x₁ \ne 0 이고 y₁ \ne 0 일 때

1. 반지름 OP의 기울기 구하기:
   원점 O(0,0)과 점 P(x₁, y₁)을 지나는 직선 OP의 기울기는 ^(y₁-0)⁄_(x1-0) = ^y₁⁄_x1 입니다.
2. 접선의 기울기 구하기:
   접선은 반지름 OP와 점 P에서 수직으로 만나므로, 접선의 기울기를 m이라고 하면 두 기울기의 곱은 -1이 되어야 해요.
   (^y₁⁄_x1) \cdot m = -1 ⇒ m = –^x₁⁄_y1 입니다.
3. 직선의 방정식 세우기 (점-기울기 형태):
   접선은 점 P(x₁, y₁)을 지나고 기울기가 –^x₁⁄_y1이므로,
   y – y₁ = –^x₁⁄_y1(x – x₁)
4. 정리하기:
   양변에 y₁을 곱하면: y₁(y – y₁) = -x₁(x – x₁)
   y₁y – y₁² = -x₁x + x₁²
   x₁x + y₁y = x₁² + y₁²
   그런데 점 P(x₁, y₁)은 원 x²+y²=r² 위의 점이므로 x₁² + y₁² = r²이 성립해요!
   따라서 접선의 방정식은 x₁x + y₁y = r²가 됩니다.

경우 2: x₁ = 0 또는 y₁ = 0 일 때

이 경우 접점은 좌표축 위에 있게 되고, 접선은 각각 y = ±r 또는 x = ±r 형태가 됩니다. 이 경우에도 x₁x+y₁y=r² 공식은 여전히 성립함을 확인할 수 있어요.

따라서 어떤 경우든 원 x² + y² = r² 위의 점 (x₁, y₁)에서의 접선의 방정식은 x₁x + y₁y = r² 입니다!