서로 다른 두 점에서 만나는 두 원

O: x² + y² + ax + by + c = 0

O’: x² + y² + a’x + b’y + c’ = 0

의 교점을 지나는 원 중에서 원 O’을 제외한 원의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있어요.

주의! 만약 k = -1이면, 이 방정식은 x²과 y²항이 소거되어 두 원의 공통현의 방정식(직선)이 됩니다! (이전 127번 내용) 즉, k가 -1이 아니어야 원의 방정식을 나타낼 수 있어요.

개념정리 128-1: 두 교점을 공유하는 무수히 많은 원들!

좌표평면 위에서 서로 다른 두 점 A, B에서 만나는 두 원 O와 O’을 생각해 보세요. 이 두 교점 A, B를 동시에 지나는 또 다른 원은 몇 개나 그릴 수 있을까요?

정답은 바로 무수히 많다입니다! 마치 두 점을 지나는 직선이 유일하게 결정되는 것과는 다르게, 두 점을 지나는 원은 그 크기(반지름)나 중심의 위치에 따라 무한히 많이 존재할 수 있어요.

오늘 배울 내용은 바로 이 “두 원의 교점을 지나는 무수히 많은 원들”을 하나의 방정식 형태로 표현하는 방법에 대한 것이에요. 이 방법을 사용하면, 두 원의 교점을 직접 구하지 않고도 그 교점을 지나는 특정 조건을 만족하는 원의 방정식을 쉽게 찾을 수 있게 됩니다.

개념정리 128-2: k 값에 따라 변하는 원들! (단, k \ne -1)

서로 다른 두 점에서 만나는 두 원의 방정식을 각각

f(x,y) = x² + y² + ax + by + c = 0

g(x,y) = x² + y² + a’x + b’y + c’ = 0

이라고 할 때, 이 두 원의 교점을 지나는 새로운 도형의 방정식은 실수 k를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있어요.

f(x,y) + k \cdot g(x,y) = 0

즉, (x²+y²+ax+by+c) + k(x²+y²+a’x+b’y+c’) = 0 입니다.

이 식이 두 원의 교점을 지나는 이유는, 교점의 좌표는 f(x,y)=0과 g(x,y)=0을 동시에 만족하므로, 이 좌표를 위 k를 포함한 식에 대입하면 0 + k \cdot 0 = 0이 되어 k의 값에 관계없이 항상 성립하기 때문입니다.

이제 이 방정식이 원이 되기 위한 조건을 생각해 봅시다.

위 식을 전개하여 x²항과 y²항의 계수를 살펴보면 (1+k)x²과 (1+k)y²이 됩니다.
이 식이 원의 방정식이 되려면 x²의 계수와 y²의 계수가 같아야 하고 0이 아니어야 하며, xy항이 없어야 해요. 위 식은 xy항은 원래 없었고, x², y²의 계수가 (1+k)로 이미 같아요.

따라서 이 식이 원이 되려면 1+k \ne 0, 즉 k \ne -1 이어야 합니다.
(만약 k=-1이면 x², y²항이 사라져서 직선의 방정식, 즉 두 원의 공통현의 방정식이 됩니다.)

결론적으로, k \ne -1일 때, 위 방정식은 두 원 O, O’의 교점을 지나는 새로운 원의 방정식을 나타냅니다. (단, 원 O’ 자체는 이 형태로 표현할 수 없어요. )