x, y에 대한 이차방정식 x² + y² + Ax + By + C = 0 (단, A, B, C는 실수)은 원의 방정식의 일반형이라고 해요.

이 일반형을 완전제곱식을 이용하여 표준형으로 변형하면 다음과 같아요:

(x + ^A⁄₂)² + (y + ^B⁄₂)² = ^{(A2 + B2 – 4C)}⁄₄

이로부터 다음 정보를 알 수 있습니다:

• 원의 중심의 좌표: (-^A⁄₂, –^B⁄₂)
• 원의 반지름의 길이 (r): r = ^{√(A2 + B2 – 4C)}⁄₂

이 방정식이 원을 나타내기 위한 조건은 반지름의 길이가 양수여야 하므로, A² + B² – 4C > 0 입니다.

• 만약 A² + B² – 4C = 0이면, 반지름이 0인 점원(한 점)을 나타내요.
• 만약 A² + B² – 4C < 0이면, 방정식을 만족하는 실수 x,y가 존재하지 않아 도형을 나타내지 않아요 (허원).

개념정리 122-1: 표준형을 전개한 모습!

원의 방정식의 표준형 (x-a)² + (y-b)² = r²의 좌변을 전개하고 모든 항을 한쪽으로 모아 정리하면 어떤 형태가 될까요?

(x² – 2ax + a²) + (y² – 2by + b²) = r²

x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0

여기서 -2a = A, -2b = B, a²+b²-r² = C라고 치환하면, 우리는 x² + y² + Ax + By + C = 0 이라는 형태를 얻을 수 있어요. 이것이 바로 원의 방정식의 일반형입니다.

일반형의 중요한 특징은 다음과 같아요:

• x²항과 y²항이 모두 존재하고, 그 계수가 서로 같아요 (보통 1로 맞춰줍니다).
• xy항이 없어요.

만약 어떤 x, y에 대한 이차방정식이 이 두 가지 특징을 만족한다면, 그 방정식은 원을 나타낼 가능성이 있답니다 (단, 반지름 조건 A²+B²-4C > 0을 만족해야 함).

개념정리 122-2: 중심과 반지름 찾아내기!

원의 방정식이 일반형 x² + y² + Ax + By + C = 0으로 주어졌을 때, 원의 중심과 반지름을 바로 알기는 어렵죠. 그래서 우리는 이 일반형을 표준형 (x-a)² + (y-b)² = r² 꼴로 변형해야 해요. 변형하는 방법은 x에 대한 항과 y에 대한 항을 각각 완전제곱식으로 만들어주는 것입니다.

x² + y² + Ax + By + C = 0

1. x항과 y항을 각각 묶고 상수항을 우변으로 이항해요:

(x² + Ax) + (y² + By) = -C

2. 각 괄호 안을 완전제곱식으로 만들어요:

(x² + Ax + (^A⁄₂)²) + (y² + By + (^B⁄₂)²) = -C + (^A⁄₂)² + (^B⁄₂)²

(x + ^A⁄₂)² + (y + ^B⁄₂)² = ^(A2)⁄₄ + ^(B2)⁄₄ – C

(x – (-^A⁄₂))² + (y – (-^B⁄₂))² = ^{(A2 + B2 – 4C)}⁄₄

이것이 표준형 (x-a)² + (y-b)² = r²과 같은 형태이므로,

• 원의 중심: (a, b) = (-^A⁄₂, –^B⁄₂)
• 반지름의 제곱: r² = ^{(A2 + B2 – 4C)}⁄₄
• 반지름: r = √^{(A2 + B2 – 4C)}⁄₄ = ^{√(A2 + B2 – 4C)}⁄₂

개념정리 122-3: 반지름은 0보다 커야 해!

방정식 x² + y² + Ax + By + C = 0이 항상 원을 나타내는 것은 아니에요. 원이 되려면 반지름의 길이 r이 0보다 커야 하죠.

위에서 구한 반지름의 제곱 r² = ^{(A2 + B2 – 4C)}⁄₄에서, 반지름 r이 0보다 크려면 r²도 0보다 커야 합니다.

따라서 ^{(A2 + B2 – 4C)}⁄₄ > 0 이어야 하고, 분모 4는 양수이므로 결국 A² + B² – 4C > 0 이라는 조건을 만족해야 이 방정식이 원(실원)을 나타냅니다.

• 만약 A² + B² – 4C = 0이면, r²=0 즉 r=0이 되어 반지름이 0인 원, 즉 한 점 (-A/2, -B/2)을 나타냅니다. (점원)
• 만약 A² + B² – 4C < 0이면, r²이 음수가 되어 실수인 반지름 r이 존재하지 않으므로, 이 방정식을 만족하는 실수 x,y는 존재하지 않습니다. (허원)