두 직선의 방정식이 일반형 ax + by + c = 0 과 a’x + b’y + c’ = 0으로 주어졌을 때 (단, a,b,c,a’,b’,c’는 실수), 두 직선의 위치 관계는 계수들의 비를 비교하여 다음과 같이 판단해요.

두 직선의 위치 관계	조건 (계수의 비)	연립방정식의 해의 개수
① 평행하다	a⁄a’ = b⁄b’ ≠ c⁄c’	없다 (불능)
② 일치한다	a⁄a’ = b⁄b’ = c⁄c’	무수히 많다 (부정)
③ 한 점에서 만난다	a⁄a’ ≠ b⁄b’	한 쌍
④ 수직이다	aa’ + bb’ = 0	한 쌍

(위 조건에서 분모가 0이 되는 경우는 해당 비를 만들 수 없으므로, 다른 방법으로 비교하거나 표준형으로 변환 후 생각해야 합니다. 하지만 일반적으로 이 비율 관계는 계수들이 0이 아닐 때 유용하게 사용됩니다.)

개념정리 115-1: 두 가지 표현 방식

직선의 방정식을 나타내는 두 가지 주요 형태를 복습해 볼까요?

• 표준형: y = mx + n
  → 기울기 m과 y절편 n을 바로 알 수 있어 그래프를 그리거나 특징을 파악하기 편리해요.
  → 단, y축에 평행한 직선(x=k 꼴)은 표현할 수 없다는 한계가 있어요.
• 일반형: ax + by + c = 0 (단, a, b는 동시에 0이 아님)
  → 좌표평면 위의 모든 직선을 표현할 수 있어요. (y축에 평행한 직선도 b=0일 때 표현 가능)

일반형으로 주어진 두 직선의 위치 관계는, 각 직선을 표준형으로 바꾸어 기울기와 y절편을 비교할 수도 있지만, 계수의 비를 이용하면 더 간편하게 판별할 수 있는 경우가 많답니다.

개념정리 115-2: a,b,c와 a’,b’,c’의 관계!

두 직선 l: ax + by + c = 0 과 l’: a’x + b’y + c’ = 0의 위치 관계를 계수의 비를 이용하여 판별하는 방법은 다음과 같아요. (단, 각 계수가 0이 아니라고 가정할 때, 만약 0인 계수가 있다면 표준형으로 바꿔서 생각하거나 각 경우를 따져봐야 합니다.)

이 조건들은 두 직선을 표준형 y = –^a⁄_bx – ^c⁄_b 와 y = –^a’⁄_b’x – ^c’⁄_b’ (단, b \ne 0, b’ \ne 0)로 바꾼 후, 표준형에서의 위치 관계 조건(기울기 비교, y절편 비교)을 적용하여 유도할 수 있습니다.

1. 평행할 조건: ^a⁄_a’ = ^b⁄_b’ ≠ ^c⁄_c’

두 직선이 평행하려면 기울기는 같고 y절편은 달라야 해요.
기울기가 같다: –^a⁄_b = –^a’⁄_b’ ⇒ ^a⁄_b = ^a’⁄_b’ ⇒ ab’ = a’b ⇒ ^a⁄_a’ = ^b⁄_b’ (a’, b’ \ne 0 가정)

y절편이 다르다: –^c⁄_b ≠ –^c’⁄_b’ ⇒ ^c⁄_b ≠ ^c’⁄_b’ ⇒ cb’ ≠ c’b ⇒ ^b⁄_b’ ≠ ^c⁄_c’ (b’, c’ \ne 0 가정)

이 두 조건을 합치면 위와 같은 비율 관계가 나옵니다.

2. 일치할 조건: ^a⁄_a’ = ^b⁄_b’ = ^c⁄_c’

두 직선이 일치하려면 기울기도 같고 y절편도 같아야 해요.
기울기가 같다: ^a⁄_a’ = ^b⁄_b’

y절편이 같다: –^c⁄_b = –^c’⁄_b’ ⇒ ^b⁄_b’ = ^c⁄_c’

세 비율이 모두 같아야 합니다.

3. 한 점에서 만날 조건: ^a⁄_a’ ≠ ^b⁄_b’

두 직선이 한 점에서 만나려면 기울기가 달라야 해요.
기울기가 다르다: –^a⁄_b ≠ –^a’⁄_b’ ⇒ ^a⁄_b ≠ ^a’⁄_b’ ⇒ ab’ ≠ a’b ⇒ ^a⁄_a’ ≠ ^b⁄_b’

4. 수직일 조건: aa’ + bb’ = 0

두 직선이 수직이려면 기울기의 곱이 -1이어야 했죠 (m \cdot m’ = -1).
(-^a⁄_b) \cdot (-^a’⁄_b’) = -1

^aa’⁄_bb’ = -1 ⇒ aa’ = -bb’ ⇒ aa’ + bb’ = 0

(이 조건은 b=0 또는 b’=0인 경우, 즉 직선이 y축에 평행한 경우에도 성립합니다. 예를 들어 ax+c=0 (b=0)과 b’y+c’=0 (a’=0)은 항상 수직인데, a \cdot 0 + 0 \cdot b’ = 0으로 성립합니다.)