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항등식의 미정계수 구하기
💡 문제를 풀기 위한 열쇠
- 항등식: 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식입니다.
- 계수비교법: 양변을 전개하여 같은 차수의 계수끼리 비교합니다.
- 수치대입법: 문자에 적당한 수를 대입하여 식을 간단히 만듭니다.
🎯 정답: 2
자세한 풀이 보기
방법 1. 계수비교법 (정석 전개)
먼저 좌변을 전개하여 내림차순으로 정리해봅시다.
\( x(x+2) + 3(x+1) = x^2 + 2x + 3x + 3 = \mathbf{x^2 + 5x + 3} \)
이 식이 우변인 \( x^2 + ax + b \)와 모든 $x$에 대해 같아야 하므로 각 항의 계수를 비교합니다.
- $x$의 계수: \( \mathbf{a = 5} \)
- 상수항: \( \mathbf{b = 3} \)
따라서 \( a – b = 5 – 3 = \mathbf{2} \) 입니다.
광고 아래에 ‘수치대입법’ 풀이가 이어집니다.
방법 2. 수치대입법 (강력 추천!)
항등식의 성질을 이용해 $x$에 특정한 값을 넣어봅시다. 문제에서 요구하는 \( a-b \) 모양을 바로 만들기 위해 $x = -1$을 대입하는 것이 핵심입니다.
- [좌변]: \( -1(-1+2) + 3(-1+1) = -1(1) + 0 = \mathbf{-1} \)
- [우변]: \( (-1)^2 + a(-1) + b = \mathbf{1 – a + b} \)
좌변과 우변이 같아야 하므로:
\( -1 = 1 – (a – b) \)
\(\therefore a – b = 2\)
“이거 시험에서 시간 잡아먹으면 안 되는 문제야!”
- 모양을 먼저 봐!: $a, b$를 따로 구할 필요가 없다면 수치대입법이 3배는 빨라. $x=1$이나 $x=-1$을 넣어서 통째로 구하는 습관을 들여봐.
- 부호는 생명이야: $a-b$ 구할 때 $b$가 음수 나오면 마이너스 마이너스 만나서 플러스 되는 거 알지? 괄호 안 쳐서 4점 날리면 그날 밤 이불 킥 한다.
- 3초 검산법: 전개로 풀었어도 마지막에 $x=0$ 넣어봐. 그럼 바로 상수항 $b=3$인 거 나오지? 이렇게 자가 검토하는 능력이 1등급을 만든다!
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